Completezza (statistica)

In statistica la completezza è una proprietà legata ad una misura di probabilità, tale per cui è possibile stimare tutti i parametri appartenenti a tale distribuzione tramite delle statistiche date ed assicura che le distribuzioni in corrispondenza di parametri diversi saranno distinte.

La completezza è di notevole rilievo per la ricerca di stimatori non distorti a varianza minima analizzata nel teorema di Lehmann-Scheffé.

Definizione

Data una misura di probabilità ${\displaystyle P_{\underline {X}}(x)}$ avente legge di probabilità:

${\displaystyle P_{\underline {X}}=\left\{{P_{\underline {X}}}^{\underline {\theta }};{\underline {\theta }}\in \mathrm {H} \subset {\mathbb {R} }^{m}\right\}}$

Diremo che il vettore ${\displaystyle {\underline {X}}}$ è completo rispetto al parametro ${\displaystyle {\underline {\theta }}}$ se ${\displaystyle \forall g}$ funzione misurabile e ${\displaystyle \forall {\underline {\theta }}\in H}$ si ha che se:

${\displaystyle {\mathrm {E} }_{\theta }[g({\underline {X}})]=0}$ implica che ${\displaystyle g({\underline {X}})=0}$ quasi certamente, ovvero ${\displaystyle Prob_{\theta }(g({\underline {X}})=0)=1}$

Esempio

Sia ${\displaystyle X\in (0,+\infty )}$ con ${\displaystyle X\sim U(0,\theta )\quad }$ la distribuzione continua uniforme e ${\displaystyle \quad \theta \in (0,+\infty )}$

Data ${\displaystyle g}$ una funzione misurabile ho che:

${\displaystyle E_{\theta }[g(X)]=0\quad \forall \theta \in H}$ implica:

${\displaystyle \int _{0}^{\theta }{\frac {g(X)}{\theta }}\,dx=0}$

Perciò semplificando ottengo:

${\displaystyle \int _{0}^{\theta }g(X)\,dx=0}$

Da cui:

${\displaystyle \partial {\theta }\ \int _{0}^{\theta }g(X)\,dx=0}$

E per il teorema fondamentale del calcolo integrale ottengo:

${\displaystyle g(\theta )=0\quad \forall \theta \in (0,+\infty )}$

Perciò ${\displaystyle g(X)=0}$ quasi certamente

Proprietà

Data una statistica ${\displaystyle T({\underline {X}})}$ ed una biezione ${\displaystyle \phi }$ indipendente da ${\displaystyle \theta }$ allora ${\displaystyle \phi \circ T({\underline {X}})}$ è anch'essa una statistica completa per ${\displaystyle \theta }$

Famiglia esponenziale

Date variabili aleatorie ${\displaystyle X_{1},...X_{n}}$ indipendenti ed identicamente distribuite, diremo che definita ${\displaystyle f(x,\theta )}$ la funzione di densità, essa apparterrà alla famiglia esponenziale con parametro ${\displaystyle \theta \in H}$ se può essere scritta in questo modo:

${\displaystyle f(x,\theta )=C(\theta )e^{Q(\theta )T(x)}h(x)}$

Con ${\displaystyle C(\theta )>0\quad h(x)>0\quad }$ e con supporto indipendente da ${\displaystyle \theta }$

Se vale tale proprietà allora:

${\displaystyle T(X)}$ e ${\displaystyle \quad \sum _{i=1}^{n}T(X_{i})}$ sono variabili aleatorie complete se ${\displaystyle H}$ contiene un intervallo non degenere

Teorema di Lehmann-Scheffé

Dato un campione aleatorio ${\displaystyle X_{1},...,X_{n}}$ indipendente ed identicamente distribuito ed un parametro ${\displaystyle \theta \in H\subset R}$

Data una statistica ${\displaystyle T(X)}$ che è sufficiente e completa per ${\displaystyle \theta \quad }$ e dato uno stimatore del parametro ${\displaystyle \theta \qquad }$:

${\displaystyle V(T(x))}$ che è non distorto ${\displaystyle \forall \theta \in H\quad }$

Allora ${\displaystyle V(T(X))}$ è l'unico stimatore non distorto a minima varianza di ${\displaystyle \theta }$

Bibliografia

• Capasso Morale, Una guida allo studio della probabilità e della statistica matematica II, ed. 2013 p. 340-347 ISBN 978-88-7488-628-9

Voci correlate

• Bias (statistica)
• Consistenza (statistica)
• Efficienza (statistica)
• Sufficienza (statistica)
• Stimatore
• Teorema di Rao-Blackwell

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