Condizione di Hölder

In matematica, la condizione di Hölder è una generalizzazione della condizione di Lipschitz.

Si verificano le seguenti relazioni di inclusione per funzioni definite su un sottoinsieme compatto della retta reale: differenziabilità con continuità ⊆ continuità di Lipschitz ⊆ α-Hölderianità ⊆ continuità uniforme ⊆ continuità; con 0 < α ≤1.

La condizione

Una funzione di variabile reale ${\displaystyle f:(a,b)\to \mathbb {R} }$ soddisfa la condizione di Hölder di ordine ${\displaystyle \alpha }$, con ${\displaystyle 0<\alpha \leq 1}$, se esiste una costante ${\displaystyle C>0}$ tale che:^[1] per ogni ${\displaystyle x,y\in (a,b)}$

${\displaystyle |f(x)-f(y)|\leq C|x-y|^{\alpha }}$

Il numero ${\displaystyle \alpha }$ si dice esponente di Hölder, mentre ${\displaystyle f}$ si dice Hölder-continua o hölderiana.

La condizione, che può essere definita anche per funzioni tra spazi metrici, generalizza la lipschitzianità, che si realizza quando ${\displaystyle \alpha =1}$. Se ${\displaystyle \alpha =0}$, tale condizione si riduce alla limitatezza della funzione. Le uniche funzioni che soddisferebbero la condizione di Hölder per ${\displaystyle \alpha >1}$ sono quelle costanti, dunque tale caso è di poco interesse.

Se ${\displaystyle 0<\alpha \leq \beta \leq 1}$ ogni funzione hölderiana con esponente ${\displaystyle \beta }$ e definita su un sottoinsieme limitato di ${\displaystyle \mathbb {R} }$ è anche hölderiana con esponente ${\displaystyle \alpha }$. Dunque tutte le funzioni lipschitziane sono ${\displaystyle \alpha }$-hölderiane.

Spazio delle funzioni holderiane

Lo spazio di Hölder ${\displaystyle C^{n,\alpha }(\Omega )}$ delle funzioni definite nel sottoinsieme aperto ${\displaystyle \Omega }$ dello spazio euclideo ${\displaystyle \mathbb {R} ^{N}}$, che insieme con le loro derivate fino all'ordine ${\displaystyle n}$-esimo soddisfano la condizione di Hölder con esponente ${\displaystyle \alpha }$, è uno spazio vettoriale topologico e possiede seminorma data da:

${\displaystyle \|f\|_{C^{0,\alpha }}=\sup _{x,y\in \Omega }{\frac {|f(x)-f(y)|}{|x-y|^{\alpha }}}}$

se ${\displaystyle n=0}$ e:

${\displaystyle \|f\|_{C^{n,\alpha }}=\max _{|\beta |\leq n}\sup _{x\in \Omega }|D^{\beta }f(x)|+\max _{|\beta |=n}\|D^{\beta }f\|_{C^{0,\alpha }}}$

se ${\displaystyle n>0}$, dove ${\displaystyle \beta }$ varia tra i multiindici.

Compattezza in spazi di Hölder

Sia ${\displaystyle \Omega }$ un sottoinsieme limitato di qualche spazio metrico totalmente limitato e siano ${\displaystyle 0<\alpha <\beta \leq 1}$ due esponenti di Hölder. Allora, si verifica l'inclusione dei corrispondenti spazi di Hölder:

${\displaystyle C^{0,\beta }(\Omega )\to C^{0,\alpha }(\Omega )}$

che è continua dal momento che la disuguaglianza:

${\displaystyle |f|_{0,\alpha ,\Omega }\leq \mathrm {diam} (\Omega )^{\beta -\alpha }|f|_{0,\beta ,\Omega }}$

vale per tutte le ${\displaystyle f\in C^{0,\beta }(\Omega )}$. Inoltre, tale inclusione è compatta, ovvero gli insiemi limitati nella norma ${\displaystyle |f|_{0,\beta }}$ sono relativamente compatti nella norma ${\displaystyle |f|_{0,\alpha }}$. Si tratta di una conseguenza del teorema di Ascoli-Arzelà: infatti, sia ${\displaystyle (u_{n})}$ una successione in ${\displaystyle f\in C^{0,\beta }(\Omega )}$. Grazie al risultato di Ascoli-Arzelà si può assumere senza perdita di generalità che ${\displaystyle u_{n}\to u}$ uniformemente e anche che ${\displaystyle u=0}$. Allora:

${\displaystyle |u_{n}-u|_{0,\alpha }=|u_{n}|_{0,\alpha }\to 0}$

poiché

${\displaystyle {\frac {|u_{n}(x)-u_{n}(y)|}{|x-y|^{\alpha }}}=\left({\frac {|u_{n}(x)-u_{n}(y)|}{|x-y|^{\beta }}}\right)^{\frac {\alpha }{\beta }}|u_{n}(x)-u_{n}(y)|^{1-{\frac {\alpha }{\beta }}}}$

e quindi si ha:

${\displaystyle |u_{n}(x)-u_{n}(y)|^{1-{\frac {\alpha }{\beta }}}\leq \left(2\|u_{n}\|_{\infty }\right)^{1-{\frac {\alpha }{\beta }}}=o(1)}$

Esempi

• La funzione ${\displaystyle {\sqrt {x}}}$ definita in ${\displaystyle [0,3]}$ è hölderiana per ogni ${\displaystyle \alpha \leq {1 \over 2}}$.