Cubo perfetto

Un cubo perfetto è un qualsiasi numero naturale la cui radice cubica corrisponde ad un numero intero.

y=x³, per valori interi 1≤x≤25.

In aritmetica e algebra, il cubo di un numero n è la sua terza potenza, cioè il risultato della moltiplicazione del numero per sé stesso tre volte:

n³ = n × n × n.

Si tratta anche della formula per calcolare il volume di un cubo il cui lato ha una lunghezza pari a n. Da qui il nome.

La funzione inversa di trovare il numero il cui cubo è n è detta "estrazione della radice cubica di n". Restituisce il lato di un cubo dato il volume.

Primi 21 cubi perfetti

• 0 = 0 elevato al cubo.
• 1 = 1 elevato al cubo.
• 8 = 2 elevato al cubo.
• 27 = 3 elevato al cubo.
• 64 = 4 elevato al cubo.
• 125 = 5 elevato al cubo.
• 216 = 6 elevato al cubo.
• 343 = 7 elevato al cubo.
• 512 = 8 elevato al cubo.
• 729 = 9 elevato al cubo.
• 1000 = 10 elevato al cubo.
• 1331 = 11 elevato al cubo.
• 1728 = 12 elevato al cubo.
• 2197 = 13 elevato al cubo.
• 2744 = 14 elevato al cubo.
• 3375 = 15 elevato al cubo.
• 4096 = 16 elevato al cubo.
• 4913 = 17 elevato al cubo.
• 5832 = 18 elevato al cubo.
• 6859 = 19 elevato al cubo.
• 8000 = 20 elevato al cubo.

La differenza fra i cubi di due interi consecutivi può essere espressa come:

${\displaystyle n^{3}-(n-1)^{3}=3(n-1)n+1}$

oppure

${\displaystyle (n+1)^{3}-n^{3}=3(n+1)n+1.}$

Applicazioni

Il cubo di un numero appare nella formula per il calcolo del volume di una sfera, ottaedro, dodecaedro, icosaedro regolari, nella somma dei quadrati dei primi n numeri naturali, nella terza legge di Keplero.

Se al prodotto di tre termini consecutivi di una progressione aritmetica con primo termine a e ragione d (a, e d interi positivi), si somma kd^2, si ottiene un numero cubo perfetto K.
Il prodotto di tre termini consecutivi di una progressione geometrica è un cubo perfetto.

Problema di Waring per i cubi

Lo stesso argomento in dettaglio: Problema di Waring.

Ogni cubo perfetto può essere scritto come la somma di nove o meno cubi positivi. Ad esempio 23 non può essere scritto come la somma di un numero non inferiore a nove di cubi positivi:

23 = 2³ + 2³ + 1³ + 1³ + 1³ + 1³ + 1³ + 1³ + 1³.

Ultimo teorema di Fermat per i cubi

Lo stesso argomento in dettaglio: Ultimo teorema di Fermat.

L'equazione ${\displaystyle x^{3}+y^{3}=z^{3}}$ non ha soluzioni intere non banali, ossia ha solamente soluzioni che soddisfano ${\displaystyle xyz=0}$. Infatti, non ha interi di Eisenstein tra le soluzioni.^[1]

Entrambe queste affermazioni sono vere anche per l'equazione^[2] ${\displaystyle x^{3}+y^{3}=3z^{3}}$.

Ciò non è vero se consideriamo la somma di cubi, con più di due addendi:

${\displaystyle 3^{3}+4^{3}+5^{3}=6^{3}.}$

Lo stesso argomento in dettaglio: Quaterne di Ramanujan.

Somma dei primi n cubi

• I cubi dei numeri naturali sono la sommatoria di blocchi di numeri naturali dispari in ordine crescente, esempio:

${\displaystyle \underbrace {1} _{1}\ \underbrace {3\ 5} _{8}\ \underbrace {7\ 9\ 11} _{27}\ \underbrace {13\ 15\ 17\ 19} _{64}\ \underbrace {21\ 23\ 25\ 27\ 29} _{125}\ \ldots }$

• A partire dalla successione dei numeri esagonali centrati

${\displaystyle {\begin{aligned}1&=1\\8&=1+7\\27&=1+7+19\\64&=1+7+19+37\\125&=1+7+19+37+61\\&\;\;\vdots \end{aligned}}}$

la somma dei primi ${\displaystyle n}$ cubi è l'${\displaystyle n}$-esimo numero triangolare quadrato

${\displaystyle 1^{3}+2^{3}+\dots +n^{3}=(1+2+\dots +n)^{2}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}.}$

Visual proof that 1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ = (1 + 2 + 3 + 4 + 5)².

Ad esempio la somma dei primi 5 cubi perfetti è il quadrato del quinto numero triangolare

${\displaystyle 1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+5^{3}=15^{2},}$

ma ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ devono soddisfare l'equazione di Pell negativa ${\displaystyle x^{2}-2y^{2}=-1}$. Ad esempio per y = 5 e 29, allora,

${\displaystyle 1^{3}+3^{3}+\dots +9^{3}=(7\cdot 5)^{2},}$

${\displaystyle 1^{3}+3^{3}+\dots +57^{3}=(41\cdot 29)^{2},}$

e così via. Ogni numero perfetto, eccetto il minore, è la somma dei primi ${\displaystyle 2^{(}(p-1)/2)}$ cubi dispari:

${\displaystyle 28=2^{2}(2^{3}-1)=1^{3}+3^{3};}$

${\displaystyle 496=2^{4}(2^{5}-1)=1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3};}$

${\displaystyle 8128=2^{6}(2^{7}-1)=1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3}+9^{3}+11^{3}+13^{3}+15^{3}.}$

Somma di cubi di numeri in progressione aritmetica

Esistono esempi di cubi di numeri in progressione aritmetica la cui somma è un cubo:

${\displaystyle 3^{3}+4^{3}+5^{3}=6^{3};}$

${\displaystyle 11^{3}+12^{3}+13^{3}+14^{3}=20^{3};}$

${\displaystyle 31^{3}+33^{3}+35^{3}+37^{3}+39^{3}+41^{3}=66^{3}.}$

La formula F per trovare la somma di n cubi di numeri in progressione aritmetica, aventi comune differenza d a partire da un cubo iniziale ${\displaystyle a^{3}}$, è:

${\displaystyle F(d,a,n)=a^{3}+(a+d)^{3}+(a+2d)^{3}+\cdots +(a+dn-d)^{3}}$

è data da

${\displaystyle F(d,a,n)=(n/4)(2a-d+dn)(2a^{2}-2ad+2adn-d^{2}n+d^{2}n^{2}).}$

Una soluzione parametrica

${\displaystyle F(d,a,n)=y^{3}}$

è nota per ${\displaystyle d=1}$, o cubi consecutivi, ma soluzioni non sporadiche sono note anche per interi ${\displaystyle d>1}$, quali ${\displaystyle 2,3,5,7,11,13,37,39,\ldots }$^[3]

Somma dei reciproci

La somma dei reciproci di tutti i cubi, usata in una grande varietà di situazioni, è nota come costante di Apéry. Il suo valore è dato dalla funzione zeta di Riemann in corrispondenza del punto 3.

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}}}=\zeta {(3)}=1{,}2020569\ldots }$

Nei numeri razionali

Ogni numero razionale positivo è la somma di tre cubi razionali positivi^[4], mentre esistono razionali che non sono la somma di due cubi razionali.^[5]

Funzione generatrice

La funzione generatrice ${\displaystyle \sum _{i\geq 0}a_{i}x^{i}}$ di una serie formale di potenze ${\displaystyle (a_{i})_{i\geq 0}}$, è data da:

${\displaystyle \sum _{i\geq 0}i^{3}x^{i}=x+8x^{2}+27x^{3}+64x^{4}+\ldots ={\frac {x(x^{2}+4x+1)}{(x-1)^{4}}}.}$

Storia

Il calcolo del cubo di numeri grandi è comune nella storia della matematica.
Nel 2010, Alberto Zanoni ha scoperto un algoritmo^[6][7] per il calcolo del cubo di un intero lungo, entro un certo intervallo, più veloce dell'esponenziazione binaria (elevamento a potenze intere positive grandi di un numero).