Curva sestica

In matematica una curva sestica è una curva algebrica piana di sesto grado. Può essere definita da un polinomio della forma:

${\displaystyle A_{1}X^{6}+A_{2}Y^{6}+A_{3}X^{5}Y+A_{4}XY^{5}+A_{5}X^{4}Y^{2}+A_{6}X^{2}Y^{4}+A_{7}X^{3}Y^{3}+A_{8}X^{5}+A_{9}Y^{5}+A_{10}X^{4}Y+A_{11}XY^{4}+A_{12}X^{3}Y^{2}+A_{13}X^{2}Y^{3}+A_{14}X^{4}+A_{15}Y^{4}+A_{16}X^{3}Y+A_{17}XY^{3}+A_{18}X^{2}Y^{2}+A_{19}X^{3}+A_{20}Y^{3}+A_{21}X^{2}Y+A_{22}XY^{2}+A_{23}X^{2}+A_{24}Y^{2}+A_{25}XY+A_{26}X+A_{27}Y+A_{28}=0.}$

L'equazione ha 28 coefficienti, ma la curva non cambia se li moltiplichiamo tutti per una costante non nulla. Quindi i coefficienti essenziali sono 27 e le sestiche sono ∞${\displaystyle ^{27}}$. E una di esse è individuata dal suo passaggio per 27 punti generici.

Una curva sestica (${\displaystyle n=6}$) irriducibile può avere al massimo:

• ${\displaystyle {\frac {1}{2}}(n-1)(n-2)+1=11}$ componenti connesse;
• ${\displaystyle {\frac {1}{2}}(n-1)(n-2)=10}$ punti doppi;
• ${\displaystyle {\frac {n}{2}}(n-2)(n^{2}-9)=324}$ rette bitangenti;
• ${\displaystyle 3n(n-2)=72}$ punti di flesso.

Esempi

• Curva a girandola

${\displaystyle 10(4x^{2}+4y^{2}-1)^{3}-500x^{2}y^{2}+3=0}$

• Superellisse

${\displaystyle \left({\frac {x}{3}}\right)^{6}+\left({\frac {y}{2}}\right)^{6}=1}$

• Curva a farfalla

${\displaystyle x^{6}+y^{6}-x^{2}=0}$

• Curva a bacio

${\displaystyle (1-x^{2})^{3}-y^{2}=0}$

• Curva a mongolfiera

${\displaystyle x^{6}+y^{6}-6y^{5}-y^{2}=0}$

• Curva a cuore

${\displaystyle (x^{2}+y^{2}-1)^{3}-x^{2}y^{3}=0}$

• Curva a dipolo

${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{3}-x^{2}=0}$

• Curva a doppio uovo

${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{3}-x^{4}=0}$

• Archi di Samotracia

${\displaystyle x^{2}(3x^{2}-y^{2})^{2}-y^{2}(x^{2}+y^{2})=0}$

• Cicloide di Ceva

${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{3}-(3x^{2}-y^{2})^{2}=0}$

• Curva a lacrima

${\displaystyle x^{6}-x^{5}+y^{2}=0}$

• Curva di Cayley

${\displaystyle 4(x^{2}+y^{2}-x)^{3}-27(x^{2}+y^{2})^{2}=0}$

• Curva astroide

${\displaystyle (x^{2}+y^{2}-1)^{3}+27x^{2}y^{2}=0}$

• Curva nodo a farfalla

${\displaystyle x^{4}(x^{2}+y^{2})-(x^{2}-y^{2})^{2}=0}$

• Curva a manubrio

${\displaystyle x^{6}-x^{4}+y^{2}=0}$

• Curva a Croce di Malta

${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{3}-x^{2}(x^{2}+20y^{2})+8y^{2}(y^{2}+2)=0}$

• Curva a quadrifoglio dritto

${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{3}-(x^{2}-y^{2})^{2})=0}$

• Curva a quadrifoglio obliquo

${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{3}-4x^{2}y^{2}=0}$

• Curva atriftaloide

${\displaystyle x^{4}(x^{2}+y^{2})-(3x^{2}-2)^{2}=0}$

• Curva di Lissajous

${\displaystyle y^{2}-(1-x^{2})(1-4x^{2})^{2}=0}$

• Curva cornoide

${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{3}-y^{2}(5y^{2}+6x^{2}-8)+3x^{4}-4=0}$

• Curva foglio di Dürer

${\displaystyle (x^{2}+y^{2})(2x^{2}+2y^{2}-1)^{2}-x^{2}=0}$

• Curva radiale dell'ellisse

${\displaystyle (a^{2}x^{2}+b^{2}y^{2})^{3}-a^{4}b^{4}(x^{2}+y^{2})^{2}=0}$

• Curva a scarabeo dritto

${\displaystyle (x^{2}+y^{2})(x^{2}+y^{2}+ax)^{2}-b^{2}(x^{2}-y^{2})^{2}=0}$

• Curva a scarabeo obliquo

${\displaystyle (x^{2}+y^{2})(x^{2}+y^{2}-x-y)^{2}-ax^{2}y^{2}=0}$

• Curva a biella-manovella

${\displaystyle (x^{2}+y^{2})(x^{2}+a^{2}-b^{2})^{2}-4a^{2}x^{4}=0}$

• Curva nefroide

${\displaystyle (a^{2}x^{2}+y^{2}-4)^{3}-108y^{2}=0}$

• Curva a mulino a vento

${\displaystyle 4x^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2})-a^{2}(x^{2}-y^{2})^{2}=0}$

• Curva di Watt

${\displaystyle (x^{2}+y^{2})(x^{2}+y^{2}-c^{2})^{2}+4a^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2}-b^{2})=0}$

• Curva nefroide di Freeth

${\displaystyle a^{4}(y^{2}-3x^{2})+8a^{3}x(x^{2}+y^{2})-6a^{2}(x^{2}+y^{2})^{2}+(x^{2}+y^{2})^{3}=0}$

• Curva a vaso

${\displaystyle x^{2}(2x^{4}-7x^{2}+7)+3y(2y^{5}-2y^{3}-3y-1)-xy(xy^{2}+2x^{3}+7xy+7x)-3=0:}$

• Curva a telefono

${\displaystyle x^{2}(2x^{4}-9x^{2}+5)+9y^{2}(y^{4}+3y^{3}+2y^{2}+4y-4)+2x^{2}y(4x^{2}y-5y^{3}-6y^{2}+4y-9)=0}$

• Curva a tomahawk

${\displaystyle x^{4}(29x^{2}-45x-20)+y^{4}(14y^{2}+45y-45)+xy(35x^{4}+12y^{4}-20x^{3}+30y^{3})+5x^{2}y^{2}(6y^{2}-5x^{2}-8xy-2x-3y)=0}$

• Curva di Talbot

${\displaystyle a^{6}x^{6}+b^{6}y^{6}+3a^{4}b^{2}x^{4}y^{2}+3a^{2}b^{4}x^{2}y^{4}+(8a^{4}b^{4}-8a^{6}b^{2}-a^{8})x^{4}+(8a^{4}b^{4}-8a^{2}b^{6}-b^{8})y^{4}+(38a^{4}b^{4}-20a^{6}b^{2}-20a^{2}b^{6})x^{2}y^{2}+(8a^{6}b^{4}-32a^{4}b^{6}+16a^{2}b^{8}+8a^{8}b^{2})x^{2}+(8a^{2}b^{8}+8a^{4}b^{6}+16a^{8}b^{2}-32a^{6}b^{4})y^{2}+32a^{6}b^{6}-16a^{8}b^{4}-16a^{4}b^{8}=0}$

• Curva a tre barre

${\displaystyle [\sin {A}(x\sin {C}-y\cos {C}-d\sin {C})(x^{2}+y^{2}+b^{2}-e^{2})+y\sin {B}(x^{2}+y^{2}-2dx+d^{2}+a^{2}-f^{2})]^{2}+[\sin {A}(x\cos {C}+y\sin {C}-d\cos {C})(x^{2}+y^{2}+b^{2}-e^{2})-x\sin {B}(x^{2}+y^{2}-2dx+d^{2}+a^{2}-f^{2})]^{2}-4a^{2}\sin ^{2}{B}[\sin {C}(x^{2}-dx-y)-dy\cos {C}]^{2}=0}$

ove ${\displaystyle A,B,C}$ sono gli angoli opposti ai lati ${\displaystyle a,b,c}$ di un triangolo

• Curva con 20 flessi

${\displaystyle (5x^{2}+5y^{2}-6)(3x^{2}-y^{2}-1)(9x^{2}-7y^{2}+1)-1=0}$

• Curva decaconnessa

${\displaystyle 2(5x^{2}+3y^{2}-6)(2y^{2}-4y^{2}+5)(10x^{2}-3y^{2}-7)+1=0}$

• Curva a 144 bitangenti

${\displaystyle (x^{2}+y^{2}-1)(20x^{2}+y^{2}-2)(x^{2}+20y^{2}-2)+1=0}$

• Curva ennanodata

${\displaystyle x^{6}+5,8619y^{6}+4,0033x^{5}y-10,743xy^{5}-7,549x^{4}y^{2}+6,8793x^{2}y^{4}-2,7873x^{3}y^{3}-14,01x^{5}-14,07y^{5}+26,891x^{4}y+19,518xy^{4}+26,291x^{3}y^{2}-47,496x^{2}y^{3}-43,733x^{4}-69,449y^{4}-55,528x^{3}y+54,722xy^{3}+162,51x^{2}y^{2}+69,253x^{3}+303,43y^{3}-217,82x^{2}y-135,8xy^{2}+140,02x^{2}-419,88y^{2}+124,15xy-110,32x+204,46y+0,2014=0}$

• 
  Curva a girandola
• 
  Superellisse
• 
  Curva a farfalla
• 
  Curva a bacio
• 
  Curva a mongolfiera
• 
  Curva a cuore
• 
  Curva a dipolo
• 
  Curva a doppio uovo
• 
  Archi di Samotracia
• 
  Cicloide di Ceva
• 
  Curva a lacrima
• 
  Curva di Cayley
• 
  Curva astroide
• 
  Curva nodo a farfalla
• 
  Curva a manubrio
• 
  Curva a Croce di Malta
• 
  Curva a quadrifoglio dritto
• 
  Curva a quadrifoglio obliquo
• 
  Curva atriftaloide
• 
  Curva di Lissajous
• 
  Curva cornoide
• 
  Curva foglio di Dürer
• 
  Curva radiale dell'ellisse
• 
  Curva a scarabeo dritto
• 
  Curva a scarabeo obliquo
• 
  Curva a biella-manovella
• 
  Curva nefroide
• 
  Curva a mulino a vento
• 
  Curva di Watt
• 
  Curva nefroide di Freeth
• 
  Curva a vaso
• 
  Curva a telefono
• 
  Curva a tomahawk
• 
  Curva di Talbot
• 
  Curva a tre barre
• 
  Curva con 20 flessi
• 
  Curva decaconnessa
• 
  Curva a 144 bitangenti
• 
  Curva ennanodata

Voci correlate

• Curva quartica
• Curva quintica

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• Wikimedia Commons

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Collegamenti esterni

• (EN) Breve definizione delle curve sestiche, su mathworld.wolfram.com.
• Programma per tracciare le curve sestiche, su ascifoni.com. URL consultato il 28 dicembre 2011 (archiviato dall'url originale il 16 luglio 2013).

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