Delta di Kronecker

In matematica per delta di Kronecker si intende una funzione di due variabili discrete, in particolare di due variabili sugli interi o sui naturali, che vale 1 se i loro valori coincidono, mentre vale 0 in caso contrario. La distribuzione delta di Dirac può essere considerata la sua estensione al caso continuo.

Con il suo nome si ricorda il matematico tedesco Leopold Kronecker (1823-1891).

Definizione

Il delta di Kronecker è abitualmente definito come il tensore ${\displaystyle \delta _{ij}}$ di componenti:

${\displaystyle \delta _{ij}:={\begin{cases}1,&{\text{se }}i=j,\\0,&{\text{se }}i\neq j.\end{cases}}}$

Applicazioni

Il simbolo di Kronecker si incontra in numerose formule concernenti successioni, matrici o altri complessi di numeri espressi mediante indici. Ad esempio la matrice identità di dimensione ${\displaystyle n}$ si può definire come la matrice:

${\displaystyle {\bar {\bar {1}}}=(\delta _{ij})_{i,j=1,\ldots ,n},}$

che sta al posto di:

${\displaystyle {\bar {\bar {1}}}={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}.}$

Esso può anche essere usato per esprimere la relazione di ortonormalità di una base ortonormale di vettori ${\displaystyle \{e_{i}\}_{i=1,\ldots ,n}}$:

${\displaystyle \langle e_{i}|e_{j}\rangle =\delta _{ij},}$

dove ${\displaystyle \langle \cdot |\cdot \rangle }$ indica un prodotto scalare (o hermitiano).

Generalizzazioni

Può essere utile introdurre generalizzazioni del delta di Kronecker quando si trattano strutture algebriche dotate di zero e unità, ad esempio quando si considera il semianello dei linguaggi nel quale il linguaggio vuoto funge da zero e l'insieme di tutte le stringhe su un dato alfabeto ${\displaystyle A}$ funge da unità. Per applicazioni come le descrizioni di certi automi può essere conveniente servirsi di una delta di Kronecker sui linguaggi ${\displaystyle L}$ e ${\displaystyle M}$ definita come^{[non chiaro]}:

${\displaystyle \delta _{LM}:=\left\{{\begin{matrix}A^{*}&{\mbox{se }}L=M\\\varnothing &{\mbox{se }}L\neq M\end{matrix}}\right.}$.

Voci correlate

• Delta di Dirac
• Parentesi di Iverson

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Kronecker Delta, su MathWorld, Wolfram Research.

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