Distribuzione congiunta

In probabilità, date due variabili aleatorie X e Y, definite sullo stesso spazio di probabilità, si definisce la loro distribuzione congiunta come la distribuzione di probabilità associata al vettore ${\displaystyle (X,Y)}$. Nel caso di due sole variabili, si parla di distribuzione bivariata, mentre nel caso di più variabili si parla di distribuzione multivariata.

Funzione di ripartizione

La funzione di ripartizione di una distribuzione congiunta è definita come

${\displaystyle F(x,y)=P(X\leq x,Y\leq y).}$

o più generalmente

${\displaystyle F(x_{1},...,x_{n})=P(X_{1}\leq x_{1},...,X_{n}\leq x_{n}).}$

Funzione di densità

Caso discreto

Nel caso di variabili aleatorie discrete, la densità discreta congiunta (o funzione di massa di probabilità congiunta) è data da

${\displaystyle p_{X,Y}(x_{i},y_{j})=\mathrm {P} (X=x_{i},Y=y_{j})=\mathrm {P} (Y=y_{j}\mid X=x_{i})\cdot \mathrm {P} (X=x_{i})=\mathrm {P} (X=x_{i}\mid Y=y_{j})\cdot \mathrm {P} (Y=y_{j})}$

Siccome la densità congiunta è anch'essa una densità, è soddisfatta la seguente equazione:

${\displaystyle \sum _{x}\sum _{y}\mathrm {P} (X=x\ ,Y=y)=1.\;}$

È possibile ottenere le densità marginali dalla densità congiunta in questo modo: ${\displaystyle p_{X}(x_{i})=\Sigma _{j}p(x_{i},y_{j})}$e ${\displaystyle p_{Y}(y_{i})=\Sigma _{j}p(x_{j},y_{i})}$

Caso continuo

Nel caso di variabili aleatorie continue, la densità congiunta è data da

${\displaystyle f_{X,Y}(x,y)=f_{Y|X}(y|x)f_{X}(x)=f_{X|Y}(x|y)f_{Y}(y)\;}$

dove f_Y|X(y|x) e f_X|Y(x|y) sono le distribuzioni condizionate di Y dato X=x e di X dato Y=y, mentre f_X(x) e f_Y(y) sono le distribuzioni marginali della densità congiunta, rispettivamente per X e Y. Anche in questo caso, è soddisfatto

${\displaystyle \int _{x}\int _{y}f_{X,Y}(x,y)\;dy\;dx=1.}$

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