Equazione lineare

Un'equazione lineare, o equazione di primo grado, è un'equazione algebrica in cui il grado massimo delle incognite è uguale a uno^[1].

Equazioni lineari in una incognita

Quelle a una sola incognita sono riconducibili (tramite le usuali regole dell'algebra elementare) alla cosiddetta forma normale (o canonica):

${\displaystyle ax+b=0}$

dove ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ sono numeri reali o complessi.

Se ${\displaystyle a\neq 0}$ allora trasportando ${\displaystyle b}$ al secondo membro e dividendo per ${\displaystyle a}$ si ottiene^[2]:

${\displaystyle x=-{\frac {b}{a}}}$

L'equazione di primo grado ammette dunque una e una sola soluzione, pari a ${\displaystyle -{\tfrac {b}{a}}}$.

Se invece ${\displaystyle a=0}$ allora l'equazione può essere impossibile o indeterminata:

• se ${\displaystyle b=0}$, l'equazione diventa ${\displaystyle 0=0}$, che è sempre vera indipendentemente da ${\displaystyle x}$. L'equazione è pertanto detta indeterminata.

• se ${\displaystyle b\neq 0}$, l'equazione diventa ${\displaystyle 0=b}$, che, essendo in realtà ${\displaystyle b\neq 0}$, è sempre falsa indipendentemente da ${\displaystyle x}$. L'equazione non ha soluzioni ed è pertanto impossibile.

Equazioni lineari in più incognite

Più in generale, un'equazione lineare in ${\displaystyle n}$ incognite ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$ è riconducibile alla forma:

${\displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\dots +a_{n}x_{n}+k=0}$

In geometria analitica, un'equazione lineare a due incognite (scritta in genere nella forma ${\displaystyle y=mx+q}$ oppure ${\displaystyle ax+by+c=0}$) rappresenta una retta nel piano cartesiano^[3]. Nello spazio a tre dimensioni, un'equazione in tre incognite della forma ${\displaystyle ax+by+cz+d=0}$ rappresenta un piano. In generale, nello spazio euclideo ${\displaystyle n}$-dimensionale, l'insieme delle soluzioni di un'equazione lineare in ${\displaystyle n}$ incognite rappresenta un iperpiano, cioè uno spazio ad ${\displaystyle n-1}$ dimensioni. Allo stesso modo un'equazione lineare a una sola incognita rappresenta un semplice punto.