Formula di camminamento

La formula di camminamento consente di calcolare l'area di una qualsiasi figura piana di ${\displaystyle n}$ lati non curvi. È una formula che snellisce i tempi di calcolo di un'area di una figura avente un numero elevato di lati, evitando di utilizzare il sistema per triangolazione.

Per applicare questa formula è necessario conoscere:

• ${\displaystyle n-1}$ lati del poligono;
• ${\displaystyle n-2}$ angoli compresi tra gli ${\displaystyle n-1}$ lati noti.

Siano:

• ${\displaystyle L_{i}}$ il lato ${\displaystyle i}$-esimo del poligono, con ${\displaystyle i=2,\ldots ,n-1;}$
• ${\displaystyle L_{j}}$ il lato ${\displaystyle j}$-esimo del poligono, con ${\displaystyle j=1,\ldots ,n-2;}$
• ${\displaystyle \alpha _{h}}$ l'angolo interno ${\displaystyle h}$-esimo del poligono, con ${\displaystyle h=j,\ldots ,n.}$

La formula è

${\displaystyle A={1 \over 2}{\sum _{j=1}^{n-2}\left[\sum _{i=j+1}^{n-1}(-1)^{i+j+1}L_{j}\ L_{i}\sin \left(\sum _{h=j}^{i-1}\alpha _{h}\right)\right]}.}$

La stessa formula può essere espressa in forma matriciale ed in particolare indicando con ${\displaystyle k}$ il numero dei lati noti (${\displaystyle k=n-1}$), la versione matriciale compatta diviene:

${\displaystyle A=L_{1,k-1}^{T}\cdot \Lambda \cdot \ L_{2,k},}$

dove ${\displaystyle L_{1,k-1}^{T}}$ è il vettore riga contenente i primi ${\displaystyle k-1}$ lati, ossia

${\displaystyle L_{1,k-1}={\begin{bmatrix}L_{1}\\\vdots \\L_{k-1}\end{bmatrix}}.}$

Similmente ${\displaystyle L_{2,k}}$ è il vettore colonna le cui componenti in ordine rappresentano i lati del poligono partendo dal secondo fino al ${\displaystyle k}$-esimo, cioè

${\displaystyle L_{2,k}={\begin{bmatrix}L_{2}\\\vdots \\L_{k}\end{bmatrix}}.}$

Infine ${\displaystyle \Lambda }$ è una matrice triangolare superiore di ordine ${\displaystyle k-1.}$ In particolare lungo la diagonale principale sono disposti in ordine i valori dei seni degli angoli noti, mentre risulteranno nulli tutti i termini al di sotto della diagonale principale. Al di sopra di quest'ultima i termini della matrice sono espressi dalla seguente relazione:

${\displaystyle \Lambda _{i,j}=(-1)^{i+j}\sin \left(\sum _{h=i}^{j}\alpha _{h}\right).}$

Complessivamente la matrice è così definita:

${\displaystyle \Lambda ={\begin{bmatrix}\sin \alpha _{1}&-\sin(\alpha _{1}+\alpha _{2})&\cdots &\cdots &(-1)^{k}\sin(\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{k-1})\\0&\sin \alpha _{2}&\cdots &\cdots &(-1)^{k+1}\sin(\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{k-1})\\\vdots &0&\ddots &\vdots &\vdots &\\\vdots &\vdots &0&\Lambda _{i,j}&\vdots &\\0&0&0&0&\sin \alpha _{k-1}\end{bmatrix}}.}$

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