Corrispondenza biunivoca

In matematica una corrispondenza biunivoca tra due insiemi ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ è una relazione binaria tra ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$, tale che ad ogni elemento di ${\displaystyle X}$ corrisponda uno ed un solo elemento di ${\displaystyle Y}$, e viceversa ad ogni elemento di ${\displaystyle Y}$ corrisponda uno ed un solo elemento di ${\displaystyle X}$. In particolare, la corrispondenza biunivoca è una relazione di equivalenza.

Un esempio di funzione biiettiva

Lo stesso concetto può anche essere espresso usando le funzioni. Si dice che una funzione

${\displaystyle f\colon X\to Y}$

è biiettiva se per ogni elemento ${\displaystyle y}$ di ${\displaystyle Y}$ vi è uno e un solo elemento ${\displaystyle x}$ di ${\displaystyle X}$ tale che ${\displaystyle f(x)=y}$.

Una tale funzione è detta anche biiezione, bigezione, funzione bigettiva o funzione biunivoca.

Proprietà

Iniettività e suriettività

Una funzione ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ è biiettiva se e solo se è contemporaneamente iniettiva e suriettiva^[1], cioè se soddisfa le seguenti condizioni:

1. ${\displaystyle a_{1}\neq a_{2}}$ implica ${\displaystyle f(a_{1})\neq f(a_{2})}$ per ogni ${\displaystyle a_{1}}$, ${\displaystyle a_{2}}$ scelti in ${\displaystyle X}$;
2. ${\displaystyle \forall y\in Y\,\exists x\in X}$ tale che ${\displaystyle f(x)=y}$, cioè ogni elemento del codominio è immagine di un elemento del dominio.

Invertibilità

• Una funzione ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ è biiettiva se e solo se è invertibile, cioè se e solo se esiste una funzione ${\displaystyle g\colon Y\to X}$ tale che la funzione composta ${\displaystyle fg}$ venga a coincidere con la funzione identità su ${\displaystyle Y}$ e che la funzione ${\displaystyle gf}$ coincida con l'identità su ${\displaystyle X}$. La funzione ${\displaystyle g}$ se esiste è unica, viene chiamata funzione inversa di ${\displaystyle f}$ e denotata con ${\displaystyle f^{-1}}$.

Composizione

• La composizione ${\displaystyle g\circ f\colon X\to Z}$ di due funzioni biiettive ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ e ${\displaystyle g\colon Y\to Z}$ è ancora biiettiva.

Corrispondenza biunivoca per insiemi finiti

• Se ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ sono insiemi finiti, si può costruire una biiezione tra ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ se e solo se essi hanno la stessa cardinalità. In tale caso, inoltre, ogni funzione ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ iniettiva o suriettiva è anche biiettiva.^[2]