Corrispondenza biunivoca

In matematica una corrispondenza biunivoca tra due insiemi ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ è una relazione binaria tra ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$, tale che ad ogni elemento di ${\displaystyle X}$ corrisponda uno ed un solo elemento di ${\displaystyle Y}$, e viceversa ad ogni elemento di ${\displaystyle Y}$ corrisponda uno ed un solo elemento di ${\displaystyle X}$. In particolare, la corrispondenza biunivoca è una relazione di equivalenza.

Un esempio di funzione biiettiva

Lo stesso concetto può anche essere espresso usando le funzioni. Si dice che una funzione

${\displaystyle f\colon X\to Y}$

è biiettiva se per ogni elemento ${\displaystyle y}$ di ${\displaystyle Y}$ vi è uno e un solo elemento ${\displaystyle x}$ di ${\displaystyle X}$ tale che ${\displaystyle f(x)=y}$.

Una tale funzione è detta anche biiezione, bigezione, funzione bigettiva o funzione biunivoca.

Proprietà

Iniettività e suriettività

Una funzione ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ è biiettiva se e solo se è contemporaneamente iniettiva e suriettiva^[1], cioè se soddisfa le seguenti condizioni:

1. ${\displaystyle a_{1}\neq a_{2}}$ implica ${\displaystyle f(a_{1})\neq f(a_{2})}$ per ogni ${\displaystyle a_{1}}$, ${\displaystyle a_{2}}$ scelti in ${\displaystyle X}$;
2. ${\displaystyle \forall y\in Y\,\exists x\in X}$ tale che ${\displaystyle f(x)=y}$, cioè ogni elemento del codominio è immagine di un elemento del dominio.

Invertibilità

• Una funzione ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ è biiettiva se e solo se è invertibile, cioè se e solo se esiste una funzione ${\displaystyle g\colon Y\to X}$ tale che la funzione composta ${\displaystyle fg}$ venga a coincidere con la funzione identità su ${\displaystyle Y}$ e che la funzione ${\displaystyle gf}$ coincida con l'identità su ${\displaystyle X}$. La funzione ${\displaystyle g}$ se esiste è unica, viene chiamata funzione inversa di ${\displaystyle f}$ e denotata con ${\displaystyle f^{-1}}$.

Composizione

• La composizione ${\displaystyle g\circ f\colon X\to Z}$ di due funzioni biiettive ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ e ${\displaystyle g\colon Y\to Z}$ è ancora biiettiva.

Corrispondenza biunivoca per insiemi finiti

• Se ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ sono insiemi finiti, si può costruire una biiezione tra ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ se e solo se essi hanno la stessa cardinalità. In tale caso, inoltre, ogni funzione ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ iniettiva o suriettiva è anche biiettiva.^[2]

Esempi

• La funzione identità su un insieme ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle \mathrm {id} _{X}(x)=x}$, è biiettiva ed è inversa di sé stessa.
• Una permutazione di un insieme finito ${\displaystyle X}$ è biiettiva per definizione. Ad esempio, se ${\displaystyle X=\{1,2,3\}}$ e si considera la permutazione ${\displaystyle \sigma =(123)}$, secondo la notazione ciclica, la sua inversa è ${\displaystyle \sigma ^{-1}=(132)}$.
• Un'applicazione lineare ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ definita da ${\displaystyle f(\mathbf {x} )=A\mathbf {x} }$, dove ${\displaystyle A}$ è una matrice quadrata ${\displaystyle n\times n}$, è biiettiva se e solo se la matrice ${\displaystyle A}$ è invertibile. In tal caso l'applicazione inversa è definita da ${\displaystyle f^{-1}(\mathbf {x} )=A^{-1}\mathbf {x} }$. Come caso particolare, se ${\displaystyle n=1}$, la funzione ${\displaystyle f(x)=ax}$ è biiettiva se e solo se ${\displaystyle a\neq 0}$.
• La funzione ${\displaystyle f\colon \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} }$ definita da ${\displaystyle f(x)=2x}$ non è biiettiva, perché non è suriettiva. Infatti ad esempio ${\displaystyle 3}$ non appartiene alla usa immagine. La sua restrizione al codominio ${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$ è biiettiva, e la sua inversa è ${\displaystyle f^{-1}(x)=x/2}$.
• La funzione ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to [0,+\infty )}$ definita da ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ non è biiettiva perché non è iniettiva. Infatti ad esempio ${\displaystyle f(-1)=f(1)=1}$. La restrizione al dominio ${\displaystyle [0,+\infty )}$ è biiettiva e la sua funzione inversa è la radice quadrata, ${\displaystyle f^{-1}(x)={\sqrt {x}}}$. La stessa restrizione rende biiettiva ogni funzione potenza con esponente pari. Al contrario, tutte le funzioni potenza con esponente dispari definite su ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ sono biiettive e la loro inversa è la rispettiva radice.
• La funzione esponenziale ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ definita da ${\displaystyle f(x)=e^{x}}$ non è biiettiva, perché non è suriettiva. Infatti, nessuna immagine è negativa o nulla. La restrizione con codominio ${\displaystyle (0,+\infty )}$ è biiettiva e la sua inversa è il logaritmo naturale.
• La funzione seno ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ definita da ${\displaystyle f(x)=\sin x}$ non è biiettiva, perché non è né iniettiva né suriettiva. Non è iniettiva perché periodica, e non è suriettiva perché ${\displaystyle |\sin x|\leq 1}$. La restrizione al dominio ${\displaystyle [-\pi /2,\pi /2]}$ è iniettiva e la restrizione al codominio ${\displaystyle [-1,1]}$ è suriettiva. Perciò, la funzione ${\displaystyle f\colon [-\pi /2,\pi /2]\to [-1,1]}$ è biiettiva. La sua inversa è la funzione arcoseno. Considerazioni analoghe valgono per le altre funzioni goniometriche.