Funzione tau sui positivi

In matematica, la funzione tau sui positivi (o funzione dei divisori) è una funzione, solitamente indicata con ${\displaystyle \tau }$ o ${\displaystyle \operatorname {d} }$, che associa a ogni numero intero positivo ${\displaystyle n}$ il numero ${\displaystyle \tau (n)}$ dei suoi divisori, inclusi uno e il numero stesso.

I primi 250 valori della funzione τ

La funzione vale ${\displaystyle 1}$ per ${\displaystyle n=1}$, vale ${\displaystyle 2}$ per tutti i numeri primi e ha valore maggiore di ${\displaystyle 2}$ per tutti gli altri interi positivi. Inoltre la funzione ${\displaystyle \tau }$ è una funzione moltiplicativa.

Se ${\displaystyle n=p_{1}^{q_{1}}p_{2}^{q_{2}}\cdots p_{k}^{q_{k}}}$ (dove questa è la fattorizzazione di ${\displaystyle n}$ in numeri primi), allora vale la formula

${\displaystyle \tau (n)=(q_{1}+1)(q_{2}+1)\cdots (q_{k}+1).}$

Da questa scrittura appare evidente che la funzione è dispari se e solo se ${\displaystyle \displaystyle n}$ è un quadrato perfetto.

Segue una tabella dei valori di ${\displaystyle \tau }$ per i primi 20 numeri interi positivi:

${\displaystyle n}$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
${\displaystyle \tau (n)}$	1	2	2	3	2	4	2	4	3	4
${\displaystyle n}$	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
${\displaystyle \tau (n)}$	2	6	2	4	4	5	2	6	2	6

Proprietà

La funzione divisore appare nei coefficienti della serie di Dirichlet del quadrato della funzione zeta di Riemann:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {\tau \left(n\right)}{n^{s}}}=\zeta \left(s\right)^{2}}$

Inoltre, costituisce un caso particolare della funzione sigma, in quanto si ha ${\displaystyle \tau \left(n\right)=\sigma _{0}\left(n\right)}$. In particolare, soddisfa la seguente identità di Lambert:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {x^{n}}{1-x^{n}}}=\sum _{n=1}^{+\infty }\tau \left(n\right)x^{n}}$

Voci correlate

• Funzione sigma sui positivi

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