Funzione enumerativa dei primi

La funzione enumerativa dei primi o funzione pi greco sui positivi associa ad ogni numero positivo ${\displaystyle n}$ il numero dei numeri primi non superiori ad ${\displaystyle n}$, valore che si denota usualmente con ${\displaystyle \pi (n)}$.

Grafico dei primi 60 valori della funzione.

Come successione di interi essa viene presentata nella OEIS in corrispondenza della sigla A000720.

Primi valori

I primi valori assunti dalla funzione in corrispondenza degli interi ${\displaystyle n=1,2,\ldots ,100}$ sono i seguenti:

${\displaystyle \pi (n)}$	+1	+2	+3	+4	+5	+6	+7	+8	+9	+10	+11	+12	+13	+14	+15	+16	+17	+18	+19	+20
0+	0	1	2	2	3	3	4	4	4	4	5	5	6	6	6	6	7	7	8	8
20+	8	8	9	9	9	9	9	9	10	10	11	11	11	11	11	11	12	12	12	12
40+	13	13	14	14	14	14	15	15	15	15	15	15	16	16	16	16	16	16	17	17
60+	18	18	18	18	18	18	19	19	19	19	20	20	21	21	21	21	21	21	22	22
80+	22	22	23	23	23	23	23	23	24	24	24	24	24	24	24	24	25	25	25	25

Stime asintotiche

Lo stesso argomento in dettaglio: Teorema dei numeri primi.

Lo studio dell'asintotica di ${\displaystyle \pi (x)}$ costituisce uno degli argomenti principali della teoria dei numeri analitica. Nel 1896, Hadamard e de la Vallée Poussin dimostrarono che

${\displaystyle \pi (x)\sim {\rm {Li}}(x),}$

dove ${\displaystyle {\rm {Li}}(x)=\int _{2}^{x}{\frac {1}{\ln {t}}}\,dt}$ è il logaritmo integrale, confermando quanto ipotizzato da Legendre e Gauss. L'ipotesi di Riemann predice che valga una versione più precisa di tale risultato:

${\displaystyle \pi (x)={\rm {Li}}(x)+O\left({\sqrt {x}}\ln(x)\right).}$

Voci correlate

• Teorema dei numeri primi
• Teoria analitica dei numeri
• Funzione zeta di Riemann

Altri progetti

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Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Prime Counting Function, su MathWorld, Wolfram Research.

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