Funzione parziale

In matematica, si dice funzione parziale ${\displaystyle f\colon A\rightarrow B}$ un sottoinsieme di ${\displaystyle A\times B}$, cioè una relazione binaria tra ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$, tale che:

• ${\displaystyle (a,b),(a,c)\in f\Rightarrow b=c}$ (unicità)

Disambiguazione – Se stai cercando l'applicazione parziale in informatica teorica, vedi applicazione parziale.

Una funzione parziale

ossia esiste al più un ${\displaystyle b\in B}$ tale che ${\displaystyle f(a)=b}$.

È importante notare come non si richiede che la funzione sia definita ovunque, cioè che per ogni ${\displaystyle a}$ in ${\displaystyle A}$ sia ${\displaystyle (a,b)\in f}$ per un ${\displaystyle b}$ in ${\displaystyle B}$.

Per contrapposizione, una funzione parziale definita su ogni elemento del dominio (cioè una funzione nel senso comune del termine) è detta totale.

Un esempio di funzione parziale è ${\displaystyle f\colon \mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} }$ definita dalla relazione ${\displaystyle f(n)={\sqrt {n}}}$. Osserviamo che la funzione è definita dall'insieme dei numeri naturali in sé stesso, dunque è una funzione parziale in quanto ${\displaystyle f(n)}$ è un numero naturale solo se ${\displaystyle n}$ è un quadrato perfetto.

Data una funzione parziale ${\displaystyle f\colon A\rightarrow B}$ è sempre possibile restringere il dominio all'insieme di definizione ${\displaystyle D_{f}}$ della funzione. In questo modo, la restrizione della funzione ${\displaystyle f}$ alla funzione ${\displaystyle f|_{D_{f}}\colon D_{f}\rightarrow B}$ è una funzione totale.

Un altro esempio di funzione parziale è ${\displaystyle g\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ definita dalla relazione ${\displaystyle g(x)={\frac {1}{x}}}$. Questa funzione è parziale dal momento che ${\displaystyle {\frac {1}{0}}}$ non è definito. Restringendo la funzione al suo insieme di definizione ${\displaystyle g|_{D_{g}}\colon \mathbb {R} \setminus \{0\}\rightarrow \mathbb {R} }$ si ottiene una funzione (diversa) che però è totale.

Voci correlate

• Funzione (matematica)
• Funzione ricorsiva
• Dominio e codominio
• Studio di funzione
• Relazione binaria

Altri progetti

Altri progetti

• Wikimedia Commons

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su funzione parziale

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Partial Function, su MathWorld, Wolfram Research.

Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica