Gruppo di Prüfer

In matematica e più precisamente in teoria dei gruppi, il p-gruppo di Prüfer, Z(p^∞), per un numero primo p, è l'unico p-gruppo di torsione in cui ogni elemento ha esattamente p radici p-esime distinte.

Altre rappresentazioni

Il p-gruppo di Prüfer si può rappresentare anche in molti altri modi equivalenti. Ad esempio, è facile mostrare che esso è isomorfo al p-sottogruppo_di_Sylow di Q/Z formato dagli elementi che hanno ordine una potenza di p, o equivalentemente,

${\displaystyle \mathbf {Z} (p^{\infty })\cong \mathbf {Z} [1/p]/\mathbf {Z} .}$

Il p-gruppo di Prüfer può anche essere visto come sottogruppo del sottogruppo moltiplicativo dei complessi, C*; esso è infatti isomorfo al gruppo formato da tutte le radici pⁿ-esime dell'unità al variare di n tra i numeri naturali (e dunque è anche un sottogruppo del gruppo circolare, 'U (1)).

${\displaystyle \mathbf {Z} (p^{\infty })\cong \{\exp(2\pi in/p^{m})\mid n\in \mathbf {Z} ^{+},\,m\in \mathbf {Z} ^{+}\}\;\leq \mathbb {C} ^{*}.}$

Infine il p-gruppo di Prüfer si può determinare anche attraverso la sua presentazione

${\displaystyle \mathbf {Z} (p^{\infty })\cong \langle x_{1},x_{2},...\mid x_{1}^{p}=1,x_{2}^{p}=x_{1},x_{3}^{p}=x_{2},...\rangle }$.

Proprietà elementari

• Il p-gruppo di Prüfer è l'unico p-gruppo che è localmente ciclico, cioè tale che ogni suo sottogruppo generato da un numero finito di elementi è ciclico. Inoltre esso è un gruppo divisibile.

• I p-gruppi di Prüfer sono gli unici gruppi infiniti i cui sottogruppi sono totalmente ordinati dall'inclusione:

${\displaystyle 0\subset \mathbf {Z} /p\subset \mathbf {Z} /p^{2}\subset \mathbf {Z} /p^{3}\subset \cdots \subset \mathbf {Z} (p^{\infty })}$

Questa sequenza mostra inoltre come sia possibile rappresentare i p-gruppi di Prüfer anche come limiti diretti dei propri sottogruppi finiti.

• Nella teoria dei gruppi localmente compatti il p-gruppo di Prüfer fornito della topologia discreta è il duale di Pontryagin del gruppo compatto degli interi p-adici (e viceversa).^[1]

• Come Z-modulo, il p-gruppo di Prüfer è artiniano, ma non noetheriano, e, allo stesso modo, come gruppo è artiniano ma non noetheriano.