Integrabilità uniforme

In analisi funzionale e teoria della misura, una famiglia di funzioni ${\displaystyle \{f_{\alpha }\}_{\alpha \in A}\subseteq L^{1}(\mu )}$ è uniformemente integrabile se per ogni ${\displaystyle \epsilon >0}$ esiste un ${\displaystyle \delta _{\epsilon }=\delta >0}$ tale che per ogni ${\displaystyle \alpha \in A}$ si verifica:

${\displaystyle \int _{E}|f_{\alpha }|d\mu \leq \epsilon \qquad {\text{se }}\;\mu (E)\leq \delta }$

cioè:

${\displaystyle \lim _{\mu (E)\to 0}\sup _{\alpha \in A}\int _{E}|f_{\alpha }|d\mu =0}$

Tale concetto è utilizzato dal teorema di convergenza di Vitali per caratterizzare la convergenza di funzioni in ${\displaystyle L^{1}}$.

Definizione

Si dimostra che la seguente definizione è equivalente a quella data nell'introduzione.^[1] Una classe di ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ di variabili casuali è detta uniformemente integrabile se dato ${\displaystyle \epsilon >0}$ esiste ${\displaystyle K\in [0,\infty )}$ tale che il valore atteso:

${\displaystyle \mathrm {E} (|X|I_{|X|\geq K})\leq \epsilon \ \qquad \forall X\in {\mathcal {C}}}$

dove ${\displaystyle I_{|X|\geq K}}$ è la funzione indicatrice:

${\displaystyle I_{|X|\geq K}={\begin{cases}1\qquad |X|\geq K\\0\qquad |X|<K\end{cases}}}$

In modo equivalente, una classe ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ è uniformemente integrabile se:

• Esiste un ${\displaystyle K}$ finito tale che per ogni ${\displaystyle X}$ in ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ si ha ${\displaystyle \mathrm {E} (|X|)\leqslant K}$.
• Per ogni ${\displaystyle \epsilon >0}$ esiste ${\displaystyle \delta >0}$ tale che, per ogni insieme misurabile ${\displaystyle A}$ che soddisfa ${\displaystyle \mathrm {P} (A)\leqslant \delta }$ e per ogni ${\displaystyle X}$ in ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, si ha ${\displaystyle \mathrm {E} (|X|:A)\leqslant \epsilon }$.

Teoremi

Un risultato che si deve a Nelson Dunford e Billy James Pettis (teorema di Dunford-Pettis)^[2] stabilisce che una classe di variabili casuali ${\displaystyle X_{n}\subset L^{1}(\mu )}$ è uniformemente integrabile se e solo se è relativamente compatta rispetto alla topologia debole ${\displaystyle \sigma (L^{1},L^{\infty })}$.

Il teorema di de la Vallée-Poussin, che prende il nome da Charles Jean de la Vallée-Poussin,^[3] afferma che la famiglia ${\displaystyle \{X_{\alpha }\}_{\alpha \in \mathrm {A} }\subset L^{1}(\mu )}$ è uniformemente integrabile se e soltanto se esiste una funzione convessa non-negativa e crescente ${\displaystyle G(t)}$ tale che:

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }{\frac {G(t)}{t}}=\infty \qquad \sup _{\alpha }\mathrm {E} (G(|X_{\alpha }|))<\infty }$