Ipersuperficie

La nozione di ipersuperficie generalizza quella di iperpiano e di superficie. Si chiama ipersuperficie una qualunque varietà differenziabile o varietà algebrica di dimensione ${\displaystyle n-1}$ immersa in uno spazio (generalmente euclideo o affine o proiettivo) di dimensione ${\displaystyle n}$.

Definizione alternativa (in realtà è un caso particolare della definizione data sopra):

Data una funzione differenziabile ${\displaystyle g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ tale che per ogni ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ se ${\displaystyle g(x)=0}$ allora ${\displaystyle \nabla g(x)\neq (0,\ldots ,0)}$ (cioè ${\displaystyle 0}$ è un valore regolare), l'insieme di punti:

${\displaystyle S=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:g(x)=0\}}$

definisce una ipersuperficie in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.

Esempi

• Gli iperpiani, visti come varietà, sono esempi di ipersuperfici.
• Le superfici nello spazio tridimensionale sono ipersuperfici.
• Le curve sono ipersuperfici del piano.
• Il grafico di una funzione da ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ in ${\displaystyle \mathbb {R} }$ è una ipersuperficie in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$.

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