Matrice gramiana di controllabilità

In teoria del controllo, la matrice gramiana di controllabilità è una matrice di Gram usata per determinare se un sistema dinamico è controllabile. Per un sistema lineare invariante rispetto al tempo

${\displaystyle {\dot {x}}=Ax+Bu}$

la gramiana di controllabilità è definita come

${\displaystyle W_{c}(t)=\int \limits _{0}^{t}e^{-A\tau }BB^{T}e^{-A^{T}\tau }d\tau =\int \limits _{0}^{t}e^{A(t-\tau )}BB^{T}e^{A^{T}(t-\tau )}d\tau }$

La coppia ${\displaystyle (A,B)}$ è controllabile se e solo se^[1] la matrice ${\displaystyle W_{c}}$ è non singolare, cioè ${\displaystyle W_{c}}$ ha rango pieno per ogni ${\displaystyle t>0}$. È inoltre possibile provare che se la matrice ${\displaystyle A}$ è di Hurwitz, la soluzione dell'equazione di Sylvester, se esiste, è proprio ${\displaystyle W_{c}}$.

La definizione può essere estesa ai sistemi tempo varianti. Il sistema

${\displaystyle {\dot {x}}(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t)}$,

è controllabile in un intervallo ${\displaystyle [t_{0},t_{1}]}$ se e solo se le righe della matrice ${\displaystyle \Phi (t_{0},\tau )B(\tau )}$, dove ${\displaystyle \Phi }$ è la matrice di transizione di stato, sono linearmente indipendenti. La gramiana può essere usata proprio per provare questo. Si ha indipendenza lineare se e solo se la matrice gramiana di controllabilità

${\displaystyle W_{c}(t)=\int \limits _{t_{0}}^{t}\Phi (t_{0},\tau )B(\tau )B^{T}(\tau )\Phi ^{T}(t_{0},\tau )d\tau }$

è non singolare, cioè invertibile.