Numero armonico

In matematica, per ogni intero naturale n si definisce come n-esimo numero armonico la somma:

${\displaystyle H_{n}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}}$

Un grafico della crescita dell'n-esimo numero armonico ${\displaystyle H_{n,1}}$ con ${\displaystyle n=\lfloor {x}\rfloor }$ (linea rossa) insieme al suo limite asintotico ${\displaystyle \gamma +\ln[x]}$ (linea blu).

Si tratta evidentemente di numeri razionali e si dimostra che le corrispondenti frazioni ridotte ai minimi termini hanno numeratore dispari e denominatore pari.

In concreto i primi termini della successione dei numeri armonici sono:

1, 3/2, 11/6, 25/12, 137/60, 49/20, 363/140, 761/280, 7129/2520, 7381/2520, 83711/27720, ...

I numeratori dei numeri armonici sono detti numeri di Wostenholme e costituiscono la successione A001008 dell'OEIS. I denominatori costituiscono la successione A002805 dell'OEIS.

I numeri armonici costituiscono le somme parziali della serie armonica, notoriamente divergente.

Numeri armonici alternati

I numeri armonici sono strettamente collegati a quelli che si possono chiamare numeri armonici alternati

${\displaystyle H'_{n}:=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k+1}{\frac {1}{k}}}$ .

Questi sono le somme troncate della serie armonica alternata notoriamente convergente e sono esprimibili mediante i numeri armonici dalle formule

${\displaystyle H'_{2n}=H_{2n}-H_{n}\qquad H'_{2n+1}=H_{2n}-H_{n}+{\frac {1}{2n+1}}}$

Espressione analitica

I numeri armonici (e quindi anche i numeri armonici alternati) si possono esprimere analiticamente come

${\displaystyle \,H_{n}=\gamma +\Psi (n+1)}$

mediante la costante di Eulero - Mascheroni e la funzione digamma (e di conseguenza mediante la funzione gamma)

${\displaystyle \Psi (z)\equiv \psi _{0}(z):={\frac {d}{dz}}\ln \Gamma (z)={\frac {\Gamma '(z)}{\Gamma (z)}}.}$

Numeri armonici generalizzati

Il concetto di numero armonico può essere generalizzato con la seguente definizione.

Fissati due interi naturali m ed n, si definisce come n-esimo numero armonico generalizzato di esponente m la somma:

${\displaystyle H_{n}^{(m)}:=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{m}}}}$

Si può notare che i numeri armonici sono il caso particolare di numeri armonici generalizzati di esponente 1.

Per m negativi, si ottiene la somma di potenze di interi successivi

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{|m|}}$

che è strettamente legata ai polinomi di Bernoulli.

Collegamenti

I numeri armonici e i numeri armonici generalizzati che li comprendono si incontrano in numerose aree della matematica riferibili alla combinatoria e allo studio delle funzioni speciali. Essi intervengono nello studio di funzioni speciali particolari, ad es. della funzione poligamma della funzione polilogaritmo e della funzione zeta di Riemann; essi inoltre si incontrano in recenti sviluppi di elevata generalità, come le questioni collegate all'approssimazione di Hermite-Padé.

Bibliografia

• R. L. Graham, D. E. Knuth and O. Patashnik (1990): Concrete Mathematics, Addison-Wesley, p. 259.
• D. E. Knuth: The Art of Computer Programming. Addison-Wesley, Vol. 1, p. 615.

Voci correlate

• Identità con numeri armonici

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Collegamenti esterni

• Numero armonico, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) harmonic number, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Harmonic Number, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Harmonic number, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

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