Differenza finita

In matematica, una differenza finita è un'espressione nella forma di una differenza tra i valori assunti da una funzione in due specifici punti:

${\displaystyle f(x+b)-f(x+a)}$

Se la differenza finita è divisa per ${\displaystyle b-a}$ si ottiene un rapporto incrementale. Viene in genere indicata con la lettera greca ${\displaystyle \Delta }$ seguita dalla quantità che subisce tale variazione (ad esempio ${\displaystyle \Delta x}$).^[1]

Definizione

Una differenza con centro ${\displaystyle c}$ e passo ${\displaystyle h}$ è definita come:

${\displaystyle \Delta _{c,h}f(x)=f\left(x+c+{\frac {h}{2}}\right)-f\left(x+c-{\frac {h}{2}}\right)\qquad \forall c,h\in \mathbb {R} }$

Si studiano principalmente quattro tipi di differenze finite:

• La differenza finita in avanti (forward difference):

${\displaystyle \Delta _{{\frac {h}{2}},h}f(x)=\Delta _{h}f(x)=\Delta f(x)=f(x+h)-f(x)}$

• La differenza finita all'indietro (backward difference):

${\displaystyle \Delta _{-{\frac {h}{2}},h}f(x)=\Delta _{-h}f(x)=\nabla f(x)=f(x)-f(x-h)}$

• La differenza finita centrata (central difference):

${\displaystyle \Delta _{0,h}f(x)=\Delta _{0}f(x)=\delta f(x)=f\left(x+{\frac {h}{2}}\right)-f\left(x-{\frac {h}{2}}\right)}$

• La differenza finita media (medium difference):

${\displaystyle \Delta _{(0,h)/2}f(x)=\Delta _{1/2}f(x)=\mu \,f(x)={\frac {1}{2}}\left[f\left(x+{\frac {h}{2}}\right)-f\left(x-{\frac {h}{2}}\right)\right]}$

Le differenze finite sono centrali nell'analisi numerica per l'approssimazione delle derivate e quindi nella risoluzione numerica delle equazioni differenziali.

Relazione con le derivate

La derivata di una funzione ${\displaystyle f}$ in ${\displaystyle x}$ è definita come il limite del rapporto incrementale:

${\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$

Se ${\displaystyle h}$, invece che annullarsi, assume un valore fissato, allora il termine a destra si può scrivere:

${\displaystyle {\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}={\frac {\Delta _{h}[f](x)}{h}}}$

in modo che la differenza finita in avanti divisa per ${\displaystyle h}$ approssima il valore della derivata per ${\displaystyle h}$ piccolo.

L'errore relativo a tale approssimazione può essere derivato tramite il teorema di Taylor. Assumendo ${\displaystyle f}$ una funzione differenziabile con continuità l'errore è:

${\displaystyle {\frac {\Delta _{h}[f](x)}{h}}-f'(x)=O(h)\quad (h\to 0)}$

e la stessa formula vale per la differenza finita all'indietro:

${\displaystyle {\frac {\Delta _{-h}[f](x)}{h}}-f'(x)=O(h)}$

La differenza finita centrata, tuttavia, fornisce un'approssimazione più accurata. In tal caso l'errore è proporzionale al quadrato del passo ${\displaystyle h}$, se la funzione è differenziabile con continuità due volte, ovvero la derivata seconda ${\displaystyle f^{''}}$ è continua per ogni ${\displaystyle x}$:

${\displaystyle {\frac {\Delta _{0}[f](x)}{h}}-f'(x)=O(h^{2})}$

Metodo alle differenze finite

Lo stesso argomento in dettaglio: Metodo alle differenze finite.

Le differenze finite possono essere utilizzate per discretizzare una equazione differenziale ordinaria. Un esempio classico è il metodo di Eulero, che sfrutta alternativamente i tre i tipi di differenze finite presentati.

Operatore

Un operatore astratto agente su uno spazio funzionale che, data una funzione, ne restituisce la differenza finita con centro ${\displaystyle c}$ e passo ${\displaystyle h}$ si dice un operatore alle differenze. Quello in avanti per esempio può essere espresso come:

${\displaystyle \Delta _{h}=T_{h}-I}$

dove ${\displaystyle T_{h}}$ è l'operatore di shift ${\displaystyle T_{h}(f)=f(x+h)}$ e ${\displaystyle I}$ l'identità. Similmente si possono descrivere gli altri due tipi.

Qualsiasi operatore alle differenze di quelli visti è lineare e soddisfa la regola di Leibniz.

La relazione di Taylor può essere espressa allora in termini simbolici come:

${\displaystyle \Delta _{h}=\sum _{i}{\frac {h^{i}D^{i}}{i!}}\sim hD+{\frac {1}{2}}h^{2}D^{2}+{\frac {1}{3!}}h^{3}D^{3}+\dots }$

dove ${\displaystyle D}$ è l'operatore differenziale che trasforma una funzione nella sua derivata.

Proprietà

In analogia con le regole di derivazione, per un operatore alle differenze si ha:

• Se ${\displaystyle c}$ è costante ${\displaystyle \implies \Delta _{h}c=0{\,}}$
• Linearità:

${\displaystyle \Delta _{h}(\alpha f+\beta \,g)=\alpha \Delta _{h}f+\beta \,\Delta _{h}g}$con ${\displaystyle \alpha }$ e ${\displaystyle b}$ sono costanti.

• Regola del prodotto:

${\displaystyle \Delta _{h}(fg)=f\,\Delta _{h}g+g\,\Delta _{h}f+\Delta _{h}f\,\Delta _{h}g}$

${\displaystyle \Delta _{-h}(f\cdot g)=f\,\Delta _{-h}g+g\,\Delta _{-h}f-\Delta _{-h}f\,\Delta _{-h}g}$

• Regola del quoziente:

${\displaystyle \Delta _{h}\left({\frac {f}{g}}\right)={\frac {g\,\Delta _{h}f-f\,\Delta _{h}g}{g\,(g+\Delta _{h}g)}}}$

${\displaystyle \Delta _{-h}\left({\frac {f}{g}}\right)={\frac {g\,\Delta _{-h}f-f\,\Delta _{-h}g}{g\,(g-\Delta _{-h}g)}}}$

• Regole di sommazione:

${\displaystyle \sum _{n=a}^{b}\Delta _{h}f(n)=f(b+1)-f(a)}$

${\displaystyle \sum _{n=a}^{b}\Delta _{-h}f(n)=f(b)-f(a-1)}$

Differenze finite di ordine superiore

Si possono definire approssimazioni per le derivate di ordine successivo in modo iterativo.

Utilizzando ad esempio le differenze centrate per approssimare ${\displaystyle f'(x+h/2)-f'(x-h/2)}$ otteniamo la differenza finita centrata del second'ordine:

${\displaystyle \Delta _{0}^{2}f(x)=f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}$

Più in generale, le differenze finite dell' ${\displaystyle n}$-esimo ordine sono definite rispettivamente come:

${\displaystyle \Delta _{h}^{n}f(x)=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{\binom {n}{i}}f(x+(n-i)h)}$

${\displaystyle \Delta _{-h}^{n}f(x)=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{\binom {n}{i}}f(x-ih)}$

${\displaystyle \Delta _{0}^{n}f(x)=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{\binom {n}{i}}f\left(x+\left({\frac {n}{2}}-i\right)h\right)}$

Se necessario, è possibile mischiare i tre tipi centrando l'approssimazione successivamente in punti diversi.

Proprietà

• Per ${\displaystyle k}$ e ${\displaystyle n}$ positivi:

${\displaystyle \Delta _{kh}^{n}(f,x)=\sum \limits _{i_{1}=0}^{k-1}\sum \limits _{i_{2}=0}^{k-1}\cdots \sum \limits _{i_{n}=0}^{k-1}\Delta _{h}^{n}(f,x+i_{1}h+i_{2}h+\cdots +i_{n}h)}$

• Regola di Leibniz:

${\displaystyle \Delta _{h}^{n}(fg,x)=\sum \limits _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\Delta _{h}^{k}(f,x)\Delta _{h}^{n-k}(g,x+kh)}$

Generalizzazioni

Una differenza finita generalizzata è spesso definita come:

${\displaystyle \Delta _{h}^{\alpha }[f](x)=\sum _{k=0}^{n}\alpha _{k}f(x+kh)}$

dove ${\displaystyle \alpha =(\alpha _{0},\ldots ,\alpha _{n})}$ è il vettore dei suoi coefficienti. Un'ulteriore generalizzazione si ha quando la somma viene rimpiazzata da una serie infinita, ottenendo la differenza infinita.

Si possono anche rendere i coefficienti ${\displaystyle \alpha _{k}}$ dipendenti dal punto ${\displaystyle x}$, ovvero ${\displaystyle \alpha _{k}=\alpha _{k}(x)}$, ottenendo così una differenza "pesata". Si può anche far dipendere ${\displaystyle h}$ dal punto ${\displaystyle x}$, ovvero ${\displaystyle h=h(x)}$: ciò risulta utile ad esempio per definire diversi moduli di continuità.

L'operatore alle differenze si generalizza alla formula di inversione di Möbius su un insieme parzialmente ordinato.

Interpolazione di Newton

Lo stesso argomento in dettaglio: Polinomio di Newton.

La formula di interpolazione di Newton, introdotta da Newton nei Philosophiae Naturalis Principia Mathematica del 1687,^[2] è l'analogo discreto dell'espansione di Taylor continua:

${\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\Delta ^{k}[f](a)}{k!}}~(x-a)_{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{x-a \choose k}~\Delta ^{k}[f](a)}$

che vale per ogni funzione polinomiale ${\displaystyle f}$ e per molte funzioni analitiche. L'espressione:

${\displaystyle {x \choose k}={\frac {(x)_{k}}{k!}}}$

è il coefficiente binomiale, mentre:

${\displaystyle (x)_{k}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-k+1)}$

è il fattoriale decrescente. Il prodotto vuoto ${\displaystyle (x)_{0}}$ vale inoltre 1.