P (complessità)

Nella teoria della complessità computazionale, P, anche conosciuto come PTIME o DTIME(n^O(1)), è una delle più importanti classi di complessità. Contiene tutti i problemi decisionali che possono essere risolti da una macchina di Turing deterministica usando una quantità polinomiale di tempo di computazione, o tempo polinomiale.

Diagramma di Eulero-Venn per le classi di complessità P, NP, NP-completo e NP-hard

La tesi di Cobham asserisce che P è la classe di problemi computazionali che sono "risolvibili efficientemente" o "trattabili"; in pratica, qualche problema che non si sa essere in P ha soluzioni pratiche, e qualche problema in P non ne ha.

Definizione

Un linguaggio L è in P se e solo se esiste una macchina di Turing deterministica M tale che

• M viene eseguita in tempo polinomiale per tutti gli input
• Per tutti gli x in L, M restituisce in output 1
• Per tutti gli x non in L, M restituisce in output 0

P può anche essere vista come una famiglia uniforme di circuiti booleani. Un linguaggio L è in P se e solo se esiste una famiglia di circuiti booleani a tempo polinomiale uniforme ${\displaystyle \{C_{n}:n\in \mathbb {N} \}}$, tale che

• Per ogni ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, ${\displaystyle C_{n}}$ prende n bit come input e restituisce 1 bit in output
• Per ogni x in L, ${\displaystyle C_{|x|}(x)=1}$
• Per ogni x non in L, ${\displaystyle C_{|x|}(x)=0}$

Problemi notevoli in P

Si sa che P contiene molti problemi naturali, incluse le versioni decisionali di programmazione lineare, calcolare il massimo comun divisore e trovare la corrispondenza massima. Nel 2002 è stato mostrato che il problema del determinare se un numero è primo è in P^[1]. La classe relativa di problemi funzionali è FP

Diversi problemi naturali sono completi per P, inclusa la raggiungibilità su grafi^[2]. L'articolo su problemi P-completi lista ulteriori problemi rilevanti in P.