Parte reale

In matematica la parte reale di un numero complesso ${\displaystyle z}$ è il primo elemento della coppia ordinata di numeri reali che rappresentano ${\displaystyle z}$, cioè se ${\displaystyle z=(x,y)}$ o, equivalentemente, ${\displaystyle z=x+iy}$, allora la parte reale di ${\displaystyle z}$ è ${\displaystyle x}$. Viene indicata col simbolo ${\displaystyle \mathrm {Re} (z)}$ oppure ${\displaystyle \Re (z)}$.^[1]

La funzione complessa che associa ${\displaystyle z}$ alla sua parte reale non è olomorfa.

In termini di complesso coniugato ${\displaystyle {\bar {z}}}$, la parte reale di ${\displaystyle z}$ è uguale a ${\displaystyle z+{\bar {z}} \over 2}$.^[2]

Per un numero complesso in forma polare, ${\displaystyle z=(r,\theta )}$ o, equivalentemente, ${\displaystyle z=r(\cos \theta +i\sin \theta )}$. Dalla formula di Eulero segue che ${\displaystyle z=re^{i\theta }}$, e quindi che la parte reale di ${\displaystyle re^{i\theta }}$ è ${\displaystyle r\cos \theta }$.^[3]

A volte i calcoli con funzioni reali periodiche come le correnti alternate e i campi elettromagnetici sono semplificati scrivendo le funzioni come parti reali di funzioni complesse. Si veda, per esempio, la voce impedenza elettrica.