Teorema della probabilità composta

Il teorema della probabilità composta deriva dal concetto di probabilità condizionata

${\displaystyle \ {\mbox{P}}(A\cap B)={\mbox{P}}(B){\mbox{P}}(A|B)={\mbox{P}}(A){\mbox{P}}(B|A),}$

per cui la probabilità che si verifichino entrambi i due eventi è pari alla probabilità di uno dei due eventi moltiplicato con la probabilità dell'altro evento condizionato al verificarsi del primo.

Nel caso di indipendenza stocastica si ottiene che la probabilità congiunta è pari al prodotto delle probabilità:

${\displaystyle \ {\mbox{P}}(A\cap B)={\mbox{P}}(A){\mbox{P}}(B).}$

A volte la probabilità congiunta viene anche indicata con

${\displaystyle \ {\mbox{P}}(A,B).}$

Il teorema della probabilità composta può essere generalizzato al caso dell'intersezione di un numero arbitrario di eventi:

${\displaystyle \ {\mbox{P}}(A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap ...\cap A_{n})={\mbox{P}}(A_{1}){\mbox{P}}(A_{2}|A_{1}){\mbox{P}}(A_{3}|A_{1}\cap A_{2})...{\mbox{P}}(A_{n}|A_{1}\cap ...\cap A_{n-1})}$^[1]