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Spostamento verso il rosso cosmologico

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Lo spostamento verso il rosso cosmologico (detto anche redshift cosmologico) è lo spostamento relativo in frequenza di un'onda elettromagnetica dovuto all'espansione dell'universo. Inizialmente lo spostamento verso il rosso veniva attribuito all'effetto Doppler,[1] tramite la relazione

ma l'osservazione sperimentale di alcuni quasar caratterizzati da uno spostamento verso il rosso compreso tra 5 e 6 ha smentito tale ipotesi. L'approssimazione del redshift come effetto Doppler è valida solo se .[2] Il redshift cosmologico si spiega ipotizzando che le lunghezze d'onda varino allo stesso modo delle distanze per effetto dell'espansione dell'universo.[3] Ciò è verificato dal teorema del redshift.

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Ipotesi

Supponiamo che l'universo si stia espandendo,[4] e che tutte le distanze varino secondo un fattore di scala per cui possiamo ipotizzare

dove è la coordinata comovente, ovvero un tipo di coordinata che segue punto per punto l'espansione dell'universo.

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Teorema del redshift

Riepilogo
Prospettiva

Il teorema del redshift afferma che la lunghezza d'onda è proporzionale al fattore di scala dell'universo.[5]

Consideriamo la metrica di Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker[6][7]

dove è il parametro che identifica i tre diversi modelli di Friedman. Ora supponiamo di osservare un quasar posto ad una distanza comovente dalla terra (che assumiamo posta nel punto ) e sotto i due angoli costanti e . In tali condizioni la metrica si riduce a

ora considerando che stiamo osservando un'onda elettromagnetica dobbiamo porre ottenendo

(si osservi che c è stata posta uguale ad 1, ed il segno meno è dovuto al fatto che, al crescere di t, r diminuisce, in quanto l'onda elettromagnetica si avvicina alla terra con il passare del tempo).

Ci conviene ora considerare due creste consecutive dell'onda elettromagnetica: la prima emessa ad un tempo e ricevuta ad un tempo , e la seconda emessa ad un tempo e ricevuta ad un tempo .

Integrando la (1) per le due creste separatamente otteniamo

Dal momento che gli integrali al secondo membro sono uguali possiamo eguagliare gli integrali al primo membro delle due espressioni:

A questo punto consideriamo il fatto che la variazione del fattore di scala è molto lenta nel tempo . Possiamo considerare il fattore di scala costante sia durante l'emissione delle due creste, sia durante la ricezione, e ottenere

e quindi

moltiplicando e dividendo il primo membro per si ottiene

il che è esattamente quello che intendevamo dimostrare.

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Il redshift cosmologico

Se consideriamo, quindi, la definizione di "spostamento verso il rosso"[8] abbiamo:

dunque, nel caso dello spostamento verso il rosso cosmologico si ottiene

Note

Voci correlate

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