Schema simpliciale

In matematica, uno schema simpliciale è un oggetto definito usando la teoria degli insiemi, usato soprattutto per modellizzare in modo astratto e combinatorio uno spazio topologico. Lo spazio topologico che modellizza è un complesso simpliciale.

Definizione

Uno schema simpliciale è una coppia ${\displaystyle (I,K)}$ dove ${\displaystyle I}$ è un insieme i cui elementi sono detti vertici, e ${\displaystyle K}$ è una famiglia di sottoinsiemi di ${\displaystyle I}$ che soddisfa le proprietà seguenti:

1. ${\displaystyle K}$ contiene tutti gli insiemi formati da un solo elemento,
2. Se un insieme appartiene a ${\displaystyle K}$ allora tutti i suoi sottoinsiemi appartengono a ${\displaystyle K}$.

Le due condizioni possono essere espresse anche nel modo seguente.

1. ${\displaystyle \{i\}\in K\ \forall i\in I,}$
2. ${\displaystyle s\in K,t\subset s\Rightarrow t\in K.}$

Gli elementi di ${\displaystyle K}$ sono detti simplessi. La dimensione di un simplesso è la sua cardinalità meno uno.

Complesso simpliciale associato

A partire da uno schema simplicale è possibile costruire un complesso simpliciale, che è a sua volta uno spazio topologico. Il complesso simpliciale è costruito rappresentando ogni simplesso di dimensione ${\displaystyle k}$ come un simplesso geometrico della stessa dimensione, definito come l'insieme

${\displaystyle \Delta _{k}=\{(x_{0},\ldots ,x_{k})\in \mathbb {R} ^{k+1}\ |\ x_{0}+\ldots +x_{k}=1,x_{i}\geqslant 0\,\forall i\}.}$

E identificando i vari simplessi secondo le prescrizioni date dalle relazioni insiemistiche degli elementi di ${\displaystyle K}$.

Voci correlate

• Complesso simpliciale

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