Corpo con manici

In geometria, un corpo con manici è uno spazio topologico ottenuto agganciando alcuni "manici" alla palla tridimensionale.

Un corpo orientabile con 3 manici. Tagliando lungo i tre dischi bidimensionali disegnati in alto si ottiene un disco tridimensionale. Tagliando lungo uno dei dischi sottostanti si ottiene invece una varietà sconnessa.

Si tratta di un oggetto usato in topologia della dimensione bassa, specialmente nello studio delle 3-varietà.

Definizione

Un corpo con tre manici

Un corpo con ${\displaystyle k}$ manici è una particolare 3-varietà con bordo. Può essere definita in modo equivalente in uno dei modi seguenti:

• una 3-varietà con bordo ${\displaystyle M}$ contenente ${\displaystyle k}$ dischi disgiunti propriamente immersi ${\displaystyle D_{1},\ldots ,D_{k}}$ tali che la varietà ottenuta tagliando ${\displaystyle M}$ lungo questi è omeomorfa al disco

${\displaystyle D=\{x\in \mathbb {R} ^{3}\ |\ |x|\leq 1\}.}$

• la 3-varietà con bordo ${\displaystyle M}$ ottenuta scegliendo nel bordo ${\displaystyle \partial D}$ del disco ${\displaystyle 2k}$ dischi 2-dimensionali disgiunti e incollandoli a coppie;
• la somma connessa al bordo di ${\displaystyle k}$ oggetti, che possono essere tori solidi e bottiglie di Klein solide.

Il numero ${\displaystyle k}$ è il genere del corpo con manici.

Orientabilità

Il corpo con manici è orientabile se è soddisfatta una di queste richieste equivalenti:

• Il corpo con manici è omeomorfo ad un sottoinsieme di ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$.
• Il corpo è ottenuto incollando dischi tramite mappe che invertono l'orientazione.
• Il corpo è somma connessa di soli tori solidi

Spesso per "corpo con manici" si intende implicitamente un corpo con manici orientabile.

Proprietà

Un corpo con manici di genere 2 è la somma connessa al bordo di due tori solidi.

Un corpo con manici è uno spazio compatto.

Bordo

Il bordo del corpo con manici di genere ${\displaystyle k}$ è una superficie compatta e senza bordo. Se il corpo è orientabile, la superficie è orientabile e di genere ${\displaystyle k}$. Altrimenti la superficie è non orientabile e di genere ${\displaystyle 2k}$.

Equivalenza omotopica

Un corpo con manici di genere ${\displaystyle k}$ è omotopicamente equivalente ad un grafo. La sua caratteristica di Eulero è ${\displaystyle 1-k}$.

Voci correlate

• Toro (geometria)
• Somma connessa

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Handlebody, su MathWorld, Wolfram Research.

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