Copertura lineare

In matematica, e più precisamente in algebra lineare, la copertura lineare o span lineare di un insieme di vettori di uno spazio vettoriale è il sottospazio vettoriale ottenuto dall'intersezione di tutti i sottospazi contenenti tale insieme.^[1] La copertura lineare è l'insieme costituito da tutte le possibili combinazioni lineari finite di un insieme di vettori di uno spazio vettoriale, ed è pertanto chiamato "sottospazio vettoriale generato" da essi. Si dice che tali vettori costituiscono un insieme di generatori per tale spazio.

Definizione

Sia ${\displaystyle V}$ uno spazio vettoriale su un campo ${\displaystyle K}$. Sia ${\displaystyle S}$ un insieme di vettori (non necessariamente finito) di ${\displaystyle V}$. Una copertura lineare dei vettori di ${\displaystyle S}$ è il sottospazio vettoriale:^[2]

${\displaystyle \mathrm {Span} (S):=\{a_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}\ |\ a_{1},\ldots ,a_{n}\in K,\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}\in S\}.}$

Si dimostra che si tratta del sottospazio generato dai vettori stessi, ossia il sottoinsieme di ${\displaystyle V}$ formato da tutte le possibili combinazioni lineari finite nel campo considerato.^[3] Se il numero di vettori di ${\displaystyle S}$ è finito ed è uguale alla dimensione del sottospazio generato, allora essi sono linearmente indipendenti, ossia l'insieme di generatori che formano è una base del sottospazio.^[4]

La copertura lineare è, in altre parole, il sottospazio vettoriale più piccolo fra tutti quelli che contengono ${\displaystyle S}$, essendo contenuto in ciascun sottospazio contenente i vettori in ${\displaystyle S}$.

Chiusura

La trasformazione di un insieme di vettori di ${\displaystyle V}$ nel sottospazio da loro generato, cioè la funzione ${\displaystyle \mathrm {Span} }$, costituisce un esempio di funzione di chiusura. Come per tutte queste funzioni di insieme, vale la seguente proprietà di isotonia: se ${\displaystyle S}$ e ${\displaystyle T}$ sono insiemi di vettori di ${\displaystyle V}$ tali che ${\displaystyle S\subset T}$, allora:

${\displaystyle {\rm {Span}}(S)\subseteq {\rm {Span}}(T).}$

In particolare, se ${\displaystyle S=\{\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}\}}$ e ${\displaystyle T=\{\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n},\mathbf {v} _{n+1}\}}$ è ottenuto da ${\displaystyle S}$ aggiungendo un vettore ${\displaystyle \mathbf {v} _{n+1}}$, il sottospazio generato può restare invariato o diventare più esteso. Il sottospazio resta invariato se e solo se il vettore ${\displaystyle \mathbf {v} _{n+1}}$ è già contenuto in questo, cioè:

${\displaystyle {\textrm {Span}}(\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n+1})={\textrm {Span}}(\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n})}$

se e solo se:

${\displaystyle \mathbf {v} _{n+1}\in {\textrm {Span}}(\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}).}$

Basi e dimensione

Lo stesso argomento in dettaglio: Base (algebra lineare).

Un insieme di vettori è una base del sottospazio che genera se e solo se questi sono linearmente indipendenti. Se i vettori non sono indipendenti, esiste un loro sottoinsieme formato da vettori indipendenti: un sottoinsieme di questo tipo può essere trovato tramite l'algoritmo di estrazione di una base.

Da quanto appena detto segue quindi che la dimensione di un sottospazio generato da ${\displaystyle n}$ vettori è al più ${\displaystyle n}$, ed è proprio ${\displaystyle n}$ se e solo se questi sono indipendenti.

Esempi

Nel piano

In ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, i vettori ${\displaystyle (1,2)}$ e ${\displaystyle (2,4)}$ sono dipendenti. Il loro span quindi ha dimensione minore di due, e infatti è una retta. Formalmente si scrive ${\displaystyle {\rm {Span}}\{(1,2),(2,4)\}={\rm {Span}}\{(1,2)\}}$. I vettori ${\displaystyle (1,2)}$ e ${\displaystyle (2,1)}$ invece sono indipendenti, e perciò il loro span è uno spazio di dimensione 2 dentro ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$: uno spazio di dimensione ${\displaystyle n}$ ha solo sé stesso come sottospazio di dimensione ${\displaystyle n}$, e perciò ${\displaystyle {\rm {Span}}\{(1,2),(2,1)\}=\mathbb {R} ^{2}}$.

Nello spazio

In ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, i vettori ${\displaystyle (1,2,3)}$, ${\displaystyle (4,-2,1)}$, ${\displaystyle (3,-4,-2)}$ sono dipendenti, perché l'ultimo è la differenza dei primi due. Si hanno quindi ${\displaystyle {\rm {Span}}\{(1,2,3),(4,-2,1),(3,-4,-2)\}={\rm {Span}}\{(1,2,3),(4,-2,1)\}}$, e poiché questi due vettori sono indipendenti, sono una base del loro span che ha dimensione 2, ossia è un piano.