Successive Over Relaxation

In analisi numerica, il metodo Successive Over Relaxation, comunemente detto SOR o metodo del sovrarilassamento, è un metodo iterativo per la risoluzione di sistemi di equazioni lineari, variante del metodo di Gauss-Seidel. Fu introdotta dal matematico statunitense David M. Young nel 1950.

Definizione

Indicando con ${\displaystyle x_{gs}^{(k)}}$ l'approssimazione della soluzione ottenuta dal metodo di Gauss-Seidel al k-esimo passo di iterazione, il metodo SOR viene definito come:

${\displaystyle x^{(k+1)}=\omega x_{gs}^{(k+1)}+(1-\omega )x^{(k)}}$

dove ${\displaystyle \omega }$ è detto parametro di rilassamento.

Più esplicitamente:

${\displaystyle x_{i}^{(k+1)}=x_{i}^{k}+\omega r_{i}^{k}}$

dove r indica la correzione necessaria a ${\displaystyle x^{k}}$ per ottenere ${\displaystyle x^{k+1}}$ e viene calcolata come:

${\displaystyle r_{i}^{k}=1/a_{ii}\left[b_{i}-\sum _{j=1}^{i-1}a_{ij}x_{j}^{k+1}-\sum _{j=i}^{n}a_{ij}x_{j}^{k}\right]}$

Quando ${\displaystyle \omega =1}$ il metodo SOR coincide con il metodo di Gauss-Seidel.

Condizioni di convergenza

Si dimostra che condizione necessaria affinché tale metodo converga è che ${\displaystyle 0<\omega <2}$, e che tale condizione è sufficiente se la matrice ${\displaystyle A}$ cui è applicato il metodo è diagonalmente dominante in senso stretto.

Voci correlate

• Metodo di Gauss-Seidel

Collegamenti esterni

• Pagina Web di David M. Young, su cs.utexas.edu. URL consultato il 4 maggio 2019 (archiviato dall'url originale il 1º dicembre 2008).* (1950)
• D. R. Kincaid Celebrating Fifty Years of David M. Young's Successive Overrelaxation Method

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