Teorema di Carmichael

In matematica, in particolare in teoria dei numeri, il teorema di Carmichael esprime una relazione tra un numero di Fibonacci e i divisori dei termini ad esso precedenti. Più precisamente:

per ogni numero naturale ${\displaystyle n>12}$, esiste un fattore primo del numero di Fibonacci ${\displaystyle F_{n}}$ che non divide ${\displaystyle F_{k}}$, per ogni ${\displaystyle k<n}$.

Per ${\displaystyle n\leq 12}$ si hanno le seguenti eccezioni:

• ${\displaystyle F_{1}=1}$ non ha fattori primi;
• ${\displaystyle F_{2}=1}$ non ha fattori primi;
• ${\displaystyle F_{6}=8}$ ha solo il fattore primo 2 e ${\displaystyle F_{3}=2}$;
• ${\displaystyle F_{12}=144}$ ha solo i fattori primi 2 e 3, e ${\displaystyle F_{3}=2}$ e ${\displaystyle F_{4}=3}$.

I fattori primi di un numero di Fibonacci ${\displaystyle F_{n}}$ che non dividono ${\displaystyle F_{k}}$, per ogni ${\displaystyle k<n}$, sono detti fattori caratteristici o divisori primi primitivi. Quindi il teorema di Carmichael dice che ogni numero di Fibonacci, a parte le precedenti eccezioni, ammette almeno un fattore caratteristico.

Si noti che questo teorema non implica che se ${\displaystyle p}$ è un numero primo allora ${\displaystyle F_{p}}$ deve essere un numero primo. Ad esempio ${\displaystyle F_{19}=4.181=37\times 113}$, dove 19 è un numero primo, ma ${\displaystyle F_{19}}$ no.

Il teorema di Carmichael può essere generalizzato dai numeri di Fibonacci alle successioni di Lucas.

Bibliografia

• (EN) R. D. Carmichael, On the numerical factors of the arithmetic forms αⁿ+βⁿ, in Annals of Mathematics, vol. 15, n. 1/4, 1913, pp. 30-70, DOI:10.2307/1967797, JSTOR 1967797.
• (EN) R. Knott, Fibonacci numbers and special prime factors, Fibonacci Numbers and the Golden Section. URL consultato il 23 dicembre 2013 (archiviato dall'url originale il 6 settembre 2009).
• (EN) M. Yabuta, A simple proof of Carmichael's theorem on primitive divisors (PDF), in Fibonacci Quarterly, vol. 39, 2001, pp. 439-443.

Voci correlate

• Successione di Fibonacci
• Funzione di Carmichael
• Numero di Carmichael
• Successione di Lucas
• Teorema di Zsigmondy

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