Teorema di Gel'fond-Schneider

In matematica, il teorema di Gel'fond-Schneider è un teorema che stabilisce la trascendenza di una grande classe di numeri e risolve così il settimo problema di Hilbert.

Fu dimostrato indipendentemente nel 1934 dal matematico Aleksandr Osipovič Gel'fond^[1] e da Theodor Schneider^[2][3]

Enunciato

Il teorema afferma che dati due numeri complessi a algebrico diverso da 0 e da 1 e b non razionale e algebrico, ogni valore di ${\displaystyle a^{b}}$ è trascendente, cioè non è la radice di nessun polinomio a coefficienti interi. Per esempio il teorema afferma la trascendenza di numeri come ${\displaystyle 3^{\sqrt {2}}}$, ${\displaystyle 2^{\sqrt {2}}}$ (nota come constante de Gel'fond-Schneider), ${\displaystyle {\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}={\sqrt {2^{\sqrt {2}}}}}$, ma anche (essendo i algebrico e "non razionale") di ${\displaystyle 2^{i}}$ o di ${\displaystyle i^{i}}$.

Il teorema è in generale falso se b è (irrazionale) trascendente, come ad esempio nel caso di ${\displaystyle a=2}$ e ${\displaystyle b={\frac {\log 3}{\log 2}}}$ (${\displaystyle a^{b}=3}$ è chiaramente non trascendente). Casi come ${\displaystyle e^{e}}$, ${\displaystyle \pi ^{\pi }}$ o ${\displaystyle \pi ^{e}}$ sono dunque tuttora aperti. Curiosamente però si sa in base al teorema di Gel'fond che ${\displaystyle e^{\pi }}$ (nota come costante di Gel'fond) è trascendente visto che ${\displaystyle e^{\pi }}$ si può scrivere anche come ${\displaystyle e^{\pi }=i^{-2i}}$ a cui il teorema è applicabile.

Voci correlate

• Numero algebrico
• Numero trascendente
• Teorema di Lindemann-Weierstrass