Teorema di Glivenko-Cantelli

Il teorema di Glivenko-Cantelli dimostra che la funzione di ripartizione empirica di una variabile casuale unidimensionale converge, con probabilità 1 uniformemente in ${\displaystyle x}$, verso l'effettiva funzione di ripartizione.

Il teorema venne formulato nel 1933 da Valerij Ivanovič Glivenko e Francesco Paolo Cantelli.

Il teorema

Siano ${\displaystyle X_{1},...,X_{n}}$ variabili casuali indipendenti e identicamente distribuite con funzione di ripartizione ${\displaystyle F}$.

Sia ${\displaystyle {\hat {F}}_{n}(x):={1 \over n}\sum _{i=1}^{n}\mathbf {1} _{{X_{i}}\leq x}}$ la funzione di ripartizione empirica che approssima l'ignota ${\displaystyle F}$, dove il simbolo ${\displaystyle \mathbf {1} _{{X_{i}}\leq x}}$ indica la funzione indicatrice della variabile casuale ${\displaystyle X_{i}}$, definita come:

${\displaystyle \mathbf {1} _{{X_{i}}\leq x}=\left\{{\begin{matrix}1&{\mbox{se}}\ X_{i}\leq x\\0&{\mbox{se}}\ X_{i}>x\end{matrix}}\right.}$

Si definisce la massima deviazione della distribuzione empirica dalla variabile casuale che ne sta alla base come:

${\displaystyle d_{n}=\sup _{x}|{\hat {F}}_{n}(x)-F(x)|}$.

Allora la differenza d_n converge con probabilità 1 verso zero.

${\displaystyle P(\lim _{n\to \infty }d_{n}=0)=1}$

o, equivalentemente, la successione di funzioni ${\displaystyle {\hat {F}}_{n}(x)}$ converge a ${\displaystyle F(x)}$ uniformemente con probabilità 1 per ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$.

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