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Tetrazione
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In matematica, la tetrazione (o iperpotenza) è un'operazione aritmetica costituita dall'iterazione di una potenza. Non vi sono notazioni standard per questa operazione, anche se la notazione a frecce di Knuth e l'applicazione dell'esponente a sinistra sono comunemente utilizzate.
Dalla definizione dell'operazione, segue che
- , con .
dove l'elevamento a potenza viene applicato iterativamente volte. viene detto altezza della funzione, mentre viene detto base, in maniera analoga all'elevamento a potenza. La scrittura si legge " tetratto " o " torre ". Per esempio, 2 tetratto 4 risulta essere
Il termine venne coniato da Reuben Louis Goodstein come neologismo derivante dalla composizione di tetra (quattro) e iterazione. Viene anche definita ricorsivamente come:
permettendo un'estensione olomorfa della tetrazione anche ai numeri non naturali, come per gli insiemi dei numeri reali, complessi e ordinali, la cui prova è avvenuta nel 2017.
Le due operazioni inverse della tetrazione sono chiamate super-radice e super-logaritmo, e rappresentano l'analogo della radice n-esima e della funzione logaritmica. Nessuna di queste funzioni è elementare.
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Introduzione
Riepilogo
Prospettiva
La tetrazione viene considerata la quarta delle iper-operazioni, preceduta dall'addizione, dalla moltiplicazione e dall'elevamento a potenza, ed è il minimo iper-operatore caratterizzato dalla cosiddetta convergenza p-adica. Fissata la base di numerazione, calcolando (con ed interi positivi) le ultime cifre resteranno immutate per (con ), a partire da un certo valore .
Nella definizione originale, l'altezza della tetrazione deve essere un numero naturale. Tuttavia, proprio come l'addizione, la moltiplicazione e l'elevamento a potenza possono essere definite in modi che consentono estensioni ai numeri reali e complessi, sono stati fatti diversi tentativi di generalizzare la tetrazione a numeri negativi, reali e complessi. Un modo per farlo è utilizzare una definizione ricorsiva:
Questa è uguale alla definizione classica per valori di naturali, ma può essere estesa per effettuare operazioni come , , o anche , dove è l'unità immaginaria.
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Terminologia
Riepilogo
Prospettiva
Esistono varie parole per indicare la tetrazione, anche se alcuni non sono diventati di uso comune per differenti ragioni. Di seguito sono elencati alcuni dei modi per identificare questa operazione:
- Il termine tetrazione, introdotto da Goodstein nel 1947, nel suo articolo Ordinali Transfiniti nella Teoria Ricorsiva dei Numeri (eng. Transfinite Ordinals in Recursive Number Theory), è il termine più utilizzato ad oggi. È stato reso popolare anche da Rudy Rucker, grazie al suo utilizzo nel libro La mente e l'infinito: Scienza e filosofia dell'infinito.
- Il termine inglese superexponentiation, traducibile con superesponenziale (anche se nella lingua italiana questo termine viene comunemente utilizzato per riferirsi alla unzione ), introdotto da Nick Bromer nel suo articolo Superexponentiation del 1987. Era già stato utilizzato in precedenza da Ed Nelson nel suo libro Aritmetica Predicativa (eng. Predicative Arithmetic, pubblicato da Princeton University Press nel 1986).
- Il termine iperpotenza, combinazione di iper (dal greco sopra, oltre) e potenza (intesa come elevamento a potenza), che descrive intuitivamente la tetrazione. Il termine può essere considerato ambiguo, dato che il prefisso iper- viene utilizzato per riferirsi a tutti gli iper-operatori, mentre il prefisso super- si riferisce nello specifico al quarto iper-operatore, cioè quello di tetrazione.
- Il termine torre esponenziale viene a volte utilizzato in espressioni come "torre esponenziale di ordine ", riferendosi a .
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Notazione
Riepilogo
Prospettiva
Come in ogni contesto matematico, esistono diverse notazioni per indicare l'operazione di tetrazione. Alcune di queste possono essere usate per indicare altri iper-operatori, mentre altre sono limitate alla tetrazione e non hanno estensioni di alcun tipo.
In particolare, la notazione esponenziale iterata è definita come
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Bibliografia
- (EN) Constantin A. Rubstov, Giovanni F. Romerio, (2004): Ackermann's function and new arithmetical operations, Web publication
Voci correlate
Altri progetti
Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sulla tetrazione
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