Distribuzione geometrica

In teoria della probabilità la distribuzione geometrica è una distribuzione di probabilità discreta sui numeri naturali senza l'elemento "0", che segue una progressione geometrica:

${\displaystyle P(X=k)=p(1-p)^{k-1}.}$

Distribuzione geometrica ${\displaystyle {\mathcal {G}}(p)}$
Funzione di distribuzione discreta
Funzione di ripartizione
Parametri	${\displaystyle p\in [0,1]}$${\displaystyle q=1-p\ }$
Supporto	${\displaystyle \mathbb {N} ^{*}=\{1,2,...\}}$
Funzione di densità	${\displaystyle pq^{k-1}\ }$
Funzione di ripartizione	${\displaystyle 1-q^{k}\ }$
Valore atteso	${\displaystyle {\frac {1}{p}}}$
Mediana	${\displaystyle [\log _{q}{\tfrac {1}{2}}]}$ se ${\displaystyle \log _{q}{\tfrac {1}{2}}\not \in \mathbb {N} }$
Moda	${\displaystyle 0\ }$
Varianza	${\displaystyle {\frac {q}{p^{2}}}}$
Indice di asimmetria	${\displaystyle {\frac {1+q}{\sqrt {q}}}\ }$
Curtosi	${\displaystyle 6+{\frac {p^{2}}{q}}}$
Entropia	${\displaystyle -\log p-{\frac {q}{p}}\log q}$
Funzione generatrice dei momenti	${\displaystyle {\frac {pe^{t}}{1-qe^{t}}}}$
Funzione caratteristica	${\displaystyle {\frac {pe^{it}}{1-qe^{it}}}}$

È la probabilità che il primo successo (o evento in generale) richieda l'esecuzione di k prove indipendenti, ognuna con probabilità di successo p. Se la probabilità di successo in ogni prova è p, allora la probabilità che alla k-esima prova si ottenga il primo successo è

${\displaystyle P(X=k)=p(1-p)^{k-1},}$

con k = 1, 2, 3, …

La formula qui sopra è usata, dunque, per calcolare la probabilità di fare un certo numero k di tentativi fino ad ottenere il primo successo (al k-esimo tentativo). Qui sotto invece, la seguente distribuzione esprime la probabilità di avere k fallimenti prima di ottenere il primo successo:

${\displaystyle P(Y=k)=p(1-p)^{k},}$

per k = 0, 1, 2, 3, …

In entrambi i casi, la successione di probabilità è una serie geometrica.

Definizione

La distribuzione geometrica ${\displaystyle {\mathcal {G}}(p)}$ è la distribuzione di probabilità sui numeri naturali della forma

${\displaystyle P(k)=pq^{k-1}}$, con ${\displaystyle q=1-p,}$

dove q indica la probabilità di insuccesso. Il parametro ${\displaystyle q=1-p}$ si ricava da

${\displaystyle 1=P(\mathbb {N} ^{+})=\sum _{k\geqslant 0}pq^{k}=p{\frac {1}{1-q}}.}$

E ricordando la definizione di q si ottiene 1. Questo risultato è di fondamentale importanza: significa che per quanto sia piccola la probabilità che un evento accada, in un processo di Bernoulli questo prima o poi accadrà (questo si ricollega al teorema della scimmia instancabile).

Se la variabile casuale X ha la distribuzione geometrica sopra descritta riguardante il numero di estrazioni necessarie per ottenere il primo successo, cioè X è distribuita secondo ${\displaystyle P(k)=pq^{k-1}}$ , allora la distribuzione della variabile casuale ${\displaystyle Y=X-1}$ sarà ${\displaystyle P(k)=pq^{k}}$ . Nell'esempio citato sopra, X è il numero di estrazioni da fare perché esca un numero fissato (alla X-esima estrazione), mentre Y è il numero di fallimenti prima di avere il primo successo.

Processo di Bernoulli

La distribuzione geometrica di parametro q descrive anche il numero Y di fallimenti che precedono il primo successo in un processo di Bernoulli ${\displaystyle \{X_{i}\}_{i}}$ di parametro ${\displaystyle p=1-q}$:

${\displaystyle P(T=k)=P(X_{1}=0)\cdots P(X_{k}=0)P(X_{k+1}=1)=q^{k}p.}$

Caratteristiche

Una variabile aleatoria T con distribuzione geometrica di parametro q e avente come supporto i numeri naturali escluso il numero 0 ha

• funzione di probabilità

${\displaystyle P(T=k)=pq^{k-1}}$

• funzione di ripartizione

${\displaystyle P(T\leqslant k)=1-P(T\geqslant k+1)=1-q^{k}}$

• valore atteso

${\displaystyle E[T]=\sum _{k}kpq^{k-1}={\frac {1}{p}}}$

• varianza

${\displaystyle {\text{Var}}(T)\ =\ E[T^{2}]-E[T]^{2}\ =\ {\frac {q}{p^{2}}}}$

• funzione generatrice dei momenti ${\displaystyle g(T,t)\ =\ E[e^{tT}]\ =\ pe^{t}\sum _{k}q^{k}e^{kt}={\frac {pe^{t}}{1-qe^{t}}}}$
• funzione caratteristica ${\displaystyle \phi _{T}(t)\ =\ E[e^{itT}]\ =\ {\frac {pe^{it}}{1-qe^{it}}}}$

I quantili si ricavano dalla funzione di ripartizione:

• se ${\displaystyle n=\log _{q}(1-\alpha )}$ è un numero intero (${\displaystyle q={\sqrt[{n}]{1-\alpha }}}$) allora ${\displaystyle F(n-1)=\alpha }$ e ${\displaystyle q_{\alpha }\in [n-1,n]}$;
• se invece ${\displaystyle \log _{q}(1-\alpha )}$ non è intero, allora ${\displaystyle q_{\alpha }=[\log _{q}(1-\alpha )]}$ (parte intera).

In particolare la mediana è

${\displaystyle q_{1/2}\in [n-1,n]}$ se ${\displaystyle q={\sqrt[{n}]{\tfrac {1}{2}}}}$ con ${\displaystyle n}$ intero,

${\displaystyle q_{1/2}=[\log _{q}{\tfrac {1}{2}}]}$ altrimenti.

Assenza di memoria

La distribuzione geometrica è priva di memoria, ossia

${\displaystyle P(T=m+n|T>m)=P(T=n),}$

ed è l'unica distribuzione di probabilità discreta con questa proprietà.

L'indipendenza delle prove in un processo di Bernoulli implica l'assenza di memoria della distribuzione geometrica. D'altro canto, ogni variabile aleatoria T a supporto sui numeri naturali e priva di memoria rispetta

${\displaystyle P(T=n)=P(T=n+1|T>1)={\frac {P(T=n+1)}{P(T>1)}},}$

pertanto ha una distribuzione di probabilità geometrica di parametro ${\displaystyle P(T=1)}$.

Generalizzazioni

Una generalizzazione della distribuzione geometrica è la distribuzione di Pascal (o distribuzione binomiale negativa), che descrive il numero di fallimenti precedenti il successo r-esimo in un processo di Bernoulli.

Un'ulteriore generalizzazione della distribuzione di Pascal è la distribuzione di Panjer che, come la distribuzione geometrica, definisce le probabilità per ricorsione.

Esempi

La probabilità che un dado (equilibrato, a 6 facce) debba venire lanciato esattamente 10 volte prima di fornire un "4" è data dalla distribuzione geometrica. Il lancio del dado può essere considerato un processo di Bernoulli, in cui ogni prova X_i ha probabilità ${\displaystyle p=1/6}$ di fornire "4" (successo) e ${\displaystyle q=5/6}$ di fornire un altro numero (fallimento). La probabilità cercata è quindi

${\displaystyle P(T=10)={\frac {1}{6}}\left({\frac {5}{6}}\right)^{9}=0,032\ldots }$

La probabilità che dopo 10 lanci sia uscito almeno un "4" è invece

${\displaystyle P(T\leqslant 10)=1-\left({\frac {5}{6}}\right)^{10}=0,838\ldots }$

La probabilità che al decimo lancio si ottenga un "4" dopo che per 9 lanci questo numero non è mai stato ottenuto è facilmente calcolabile grazie alla mancanza di memoria

${\displaystyle P(T=10|T>9)=P(T=1)={\frac {1}{6}}=0,166\ldots }$

Voci correlate

• Distribuzione di Bernoulli
• Distribuzione di Panjer
• Distribuzione di Pascal
• Mancanza di memoria
• Processo di Bernoulli
• Variabile casuale

Altri progetti

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Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Geometric Distribution, su MathWorld, Wolfram Research.

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