Distribuzione discreta uniforme

In teoria delle probabilità una distribuzione discreta uniforme è una distribuzione di probabilità discreta che è uniforme su un insieme, ovvero che attribuisce la stessa probabilità ad ogni elemento dell'insieme discreto S su cui è definita (in particolare l'insieme dev'essere finito).

Distribuzione discreta uniforme su elementi in progressione aritmetica
Funzione di distribuzione discreta
Funzione di ripartizione
Parametri	${\displaystyle -\infty <a\leqslant b<\infty }$ estremi della progressione ${\displaystyle n}$ elementi nella progressione
Supporto	${\displaystyle S=\left\{a,\dots ,a+{\frac {i-1}{n-1}}(b-a),\dots ,b\right\}}$
Funzione di densità	${\displaystyle {\frac {1}{n}}}$ su ${\displaystyle S\ }$
Funzione di ripartizione	${\displaystyle {\frac {i}{n}}}$ per ${\displaystyle a+{\frac {i-1}{n-1}}(b-a)}$
Valore atteso	${\displaystyle {\frac {a+b}{2}}}$
Mediana	${\displaystyle {\frac {a+b}{2}}}$
Varianza	${\displaystyle {\frac {(a-b)^{2}}{12}}{\frac {n+1}{n-1}}={\frac {n^{2}-1}{12}}}$
Indice di asimmetria	${\displaystyle 0}$
Curtosi	${\displaystyle -{\frac {6}{5}}{\frac {n^{2}+1}{n^{2}-1}}}$
Entropia	${\displaystyle \log n}$
Funzione generatrice dei momenti	${\displaystyle {\frac {1}{n}}e^{at}{\frac {1-e^{{\frac {n}{n-1}}(b-a)t}}{1-e^{{\frac {1}{n-1}}(b-a)t}}}}$
Funzione caratteristica	${\displaystyle {\frac {1}{n}}e^{iat}{\frac {1-e^{i{\frac {n}{n-1}}(b-a)t}}{1-e^{i{\frac {1}{n-1}}(b-a)t}}}}$

Un esempio di distribuzione discreta uniforme è fornito dal lancio di un dado equilibrato: ognuno dei valori 1, 2, 3, 4, 5 e 6 ha eguale probabilità 1/6 di verificarsi.

Questa distribuzione di probabilità è quella che fornisce la classica definizione di probabilità "casi favorevoli su casi possibili": la probabilità di un evento ${\displaystyle A\subset S}$ è data dal rapporto tra le cardinalità dei due insiemi,

${\displaystyle P(A)={\frac {\#A}{\#S}}}$

Definizione

La distribuzione discreta uniforme su un insieme finito S è la distribuzione di probabilità ${\displaystyle {\mathcal {U}}(S)}$ che attribuisce a tutti gli elementi di S la stessa probabilità p di verificarsi.

In particolare, dalla relazione

${\displaystyle 1=P(S)=\sum _{s\in S}P(s)=\sum _{s\in S}p=p\cdot \#S}$

seguono

${\displaystyle P(s)={\frac {1}{\#S}}}$ per ogni elemento ${\displaystyle s\in S}$,

${\displaystyle P(A)={\frac {\#A}{\#S}}}$ per ogni sottoinsieme ${\displaystyle A\subset S}$.

Progressione aritmetica

Spesso viene considerata la distribuzione discreta uniforme su un insieme S i cui elementi sono in progressione aritmetica, ovvero del tipo

${\displaystyle S=\{\alpha +i\beta \colon i\in \{1,2,\dots ,n\}\}}$.

In questo caso l'insieme S può essere descritto come un insieme di n elementi in progressione aritmetica, da a a b, con elementi della forma

${\displaystyle x_{i}=a+{\frac {i-1}{n-1}}(b-a)}$,

con ${\displaystyle x_{1}=a}$ e ${\displaystyle x_{n}=b}$.

In questo modo la distribuzione discreta uniforme diventa una sorta di approssimazione della distribuzione continua uniforme sull'intervallo ${\displaystyle [a,b]}$

Caratteristiche

La distribuzione ${\displaystyle {\mathcal {U}}([a,b],n)}$ è simmetrica rispetto al punto medio ${\displaystyle (a+b)/2}$ del segmento ${\displaystyle [a,b]}$. Una variabile aleatoria U con questa distribuzione ha quindi speranza ${\displaystyle E(U)=(a+b)/2}$ e indice di asimmetria ${\displaystyle \gamma _{1}=0}$. Inoltre ha

• varianza

${\displaystyle {\text{Var}}(U)={\frac {(a-b)^{2}}{12}}{\frac {n+1}{n-1}}}$,

• curtosi

${\displaystyle \gamma _{2}=-{\frac {5}{6}}{\frac {n^{2}+1}{n^{2}-1}}}$,

• funzione generatrice dei momenti

${\displaystyle g(t,U)=E[e^{tU}]={\frac {1}{n}}(e^{at}+e^{at+\beta t}+e^{at+2\beta t}+\dots +e^{at+n\beta t})={\frac {1}{n}}e^{at}{\frac {1-e^{{\frac {n}{n-1}}(b-a)t}}{1-e^{{\frac {1}{n-1}}(b-a)t}}}}$

• entropia

${\displaystyle H(U)=\log n\ }$(il massimo valore possibile per una distribuzione su n elementi).

Altre distribuzioni

Il parallelo della distribuzione discreta uniforme tra le distribuzioni di probabilità continue è la distribuzione continua uniforme: una distribuzione definita su un insieme continuo S, che attribuisce la stessa probabilità a due intervalli della stessa lunghezza, contenuti in S, ovvero la cui densità di probabilità assume un valore costante su S.

Distribuzione su due valori

La distribuzione di Bernoulli ${\displaystyle {\mathcal {B}}(p)}$ con ${\displaystyle p=1/2}$ è una distribuzione discreta uniforme: i due valori 0 e 1 hanno entrambi probabilità

${\displaystyle p=1-p=1/2}$.

Ogni altra distribuzione discreta uniforme su due valori a e b può essere espressa tramite una variabile aleatoria X con distribuzione di Bernoulli ${\displaystyle {\mathcal {B}}({\tfrac {1}{2}})}$, considerando la variabile aleatoria ${\displaystyle {Y=aX+b(1-X)}}$.

La distribuzione discreta uniforme sui due valori 1 e −1 è anche detta distribuzione di Rademacher, dal matematico tedesco Hans Rademacher; al pari di altre distribuzioni su due valori, viene utilizzata nel metodo bootstrap per il ricampionamento dei dati.

Voci correlate

• Variabile casuale
• Distribuzione discreta
• Distribuzione continua uniforme
• Progressione aritmetica

Collegamenti esterni

• (EN) William L. Hosch, uniform distribution, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Discrete Uniform Distribution, su MathWorld, Wolfram Research.

Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica