Varietà parallelizzabile

In matematica, una varietà differenziabile M di dimensione n si dice parallelizzabile se ammette un insieme di n campi vettoriali linearmente indipendenti, definiti globalmente sull'intera varietà M.

Definizione

Data una varietà differenziabile M di dimensione n, una parallelizzazione di M è un insieme ${\displaystyle \scriptstyle {\{X_{1},\dots ,X_{n}\}}}$ di n campi vettoriali definiti su tutta la varietà ${\displaystyle \scriptstyle M\,}$ in modo che per ogni punto ${\displaystyle \scriptstyle {p\in M}\,}$ l'insieme ${\displaystyle \scriptstyle {\{X_{1}(p),\dots ,X_{n}(p)\}}}$ risulti una base di ${\displaystyle \scriptstyle {T_{p}M}\,}$, dove ${\displaystyle \scriptstyle {T_{p}M}\,}$ denota la fibra sopra p del fibrato tangente ${\displaystyle \scriptstyle {TM}\,}$.

In queste ipotesi si dice che M è una varietà parallelizzabile, poiché ammette una parallelizzazione.^[1]

Esempi

• Ogni gruppo di Lie è una varietà parallelizzabile.
• Il prodotto di due o più varietà parallelizzabili è ancora una varietà parallelizzabile.
• Ogni spazio affine, considerato come varietà differenziabile, è parallelizzabile.

Proprietà

Proposizione. Una varietà ${\displaystyle \scriptstyle M\,}$ è parallelizzabile se e solo se esiste un diffeomorfismo ${\displaystyle \scriptstyle {\phi \colon TM\longrightarrow M\times {\mathbb {R} ^{n}}}\,}$ tale che la prima proiezione di ${\displaystyle \scriptstyle {\phi }\,}$ sia ${\displaystyle \scriptstyle {\tau _{M}\colon TM\longrightarrow M}\,}$ e per ogni ${\displaystyle \scriptstyle {p\in M}\,}$ il secondo fattore — ristretto a ${\displaystyle \scriptstyle {T_{p}M}\,}$ — sia una applicazione lineare ${\displaystyle \scriptstyle {\phi _{p}\colon T_{p}M\rightarrow {\mathbb {R} ^{n}}}\,}$.

In altre parole, ${\displaystyle \scriptstyle M\,}$ è parallelizzabile se e solo ${\displaystyle \scriptstyle {\tau _{M}\colon TM\longrightarrow M}\,}$ è un fibrato vettoriale banale. Per esempio sia ${\displaystyle \scriptstyle M\,}$ un sottoinsieme aperto di ${\displaystyle \scriptstyle {\mathbb {R} ^{n}}\,}$, cioè una sottovarietà aperta di ${\displaystyle \scriptstyle {\mathbb {R} ^{n}}\,}$. Allora il fibrato tangente ${\displaystyle \scriptstyle {TM}\,}$ è diffeomorfo a ${\displaystyle \scriptstyle {M\times {\mathbb {R} ^{n}}}\,}$, e la varietà ${\displaystyle \scriptstyle {M}\,}$ è ovviamente parallelizzabile.^[2]