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幾何学におけるシムソンの定理とは、△ABC の外接円上の点 P から三角形の各辺 BC, CA, AB におろした垂線の足 L, N, M がすべて同一直線上にある(共線関係にある)という定理である。この直線のことをシムソン線(シムソンライン)と呼ぶ。この定理はロバート・シムソンから名づけられた[1]。しかし、最初に1797年にこの概念を出版したのはウィリアム・ウォレス[2]である。
AとBは対角点だから∠PAC+∠CBP=180度。
∠PAC>90度の場合、AとBを入れ替えて∠PAC≦90度とする。 ∠PAC=90度の場合,∠CBP=90度,A=M,B=L,Nは直線AB上の点だからL,M,Nは同一直線上にある. ∠PAC<90度とする。
点A,P,N,Mは同一円周上にある。 A,P,B,C はこの順で外接円周上にあるから 直線BAに対してPとCは反対側にある。
∠PAC<90度だから(A→C)と(A→M)の向きが同じになるから ∠PAM=∠PAC…①
直線BAに対してPとMは反対側にある。 Nは直線BA上の点だから 直線NAに対してPとMは反対側にあるから NとAは四角形APNMの対角点となるから ∠PAM+∠MNP=180度…②
点P,L,B,Nは同一円周上にある。 B,C,A,P はこの順で外接円周上にあるから 直線BAに対してPとCは反対側にある。
∠CBP>90度だから 直線BAに対してLとCは反対側にあるから 直線BAに対してLとPは同じ側にある。
Nは直線BA上の点だから 直線BNに対してLとPは同じ側にあるから BNは四角形PLBNの対角線でない辺となるから ∠PNL=∠PBL…③
∠CBP>90度だから (B→L)と(B→C)の向きが180度異なるから∠PBL+∠CBP=180度. ∠PAC+∠CBP=180度だから ∠PBL=∠PAC…④
①,②,③,④から、∠MNP+∠PNL=180度。
したがって、3点L,M,Nは同一直線上にある。Q.E.D.△ABCの外接円周上の点PからBC、CA、ABに下ろした垂線の足をL、M、Nとする。
外接円の中心に0を対応させ、点Pに1を対応させて、外接円を単位円とする座標をいれて、点 A,B,C,L,M,Nのそれぞれの位置の複素数をa,b,c,d,e,fとする。
x の共役複素数を とすると
A,B,C,Pは単位円上の点だから、 …(1)
PL と BC のなす角は直角だから、 …(2)
L,B,C は同一直線上にあるから、 …(3)
である事を利用して、(1),(2),(3) のdに関する連立方程式を解くと、
同様にして、
次に を求めると、
となり、 だから となって、3点L,M,Nは同一直線上にある。Q.E.D.
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