アイゼンシュタインの既約判定法

アイゼンシュタインの既約判定法（アイゼンシュタインのきやくはんていほう、英: Eisenstein's criterion）は整係数の多項式が有理数体 ${\displaystyle {\mathbb {Q} }}$ 上で既約であるための十分条件を与える定理である。ゴットホルト・アイゼンシュタインが1850年に発表した論文が由来^[1]。20世紀初頭では、シェーネマン＝アイゼンシュタインの既約判定法とも呼ばれていた。これは、1846年にテオドル・シェーネマン（英語版）がこの定理を最初に発表した^[2]ことに由来する^[3][4]。

定理

${\displaystyle P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dotsb +a_{1}x+a_{0}}$

を整数係数の多項式とする。ある素数 p が存在して、整数 a₀, a₁, …, a_n が

• i ≠ n の場合は a_i は p で割り切れる
• a_n は p で割り切れない
• a₀ は p² で割り切れない

を満たすならば、${\displaystyle P(x)}$ は有理数体 ${\displaystyle {\mathbb {Q} }}$ 上で既約である。

上の定理の係数環 ${\displaystyle Z}$ は一意分解環にまで一般化できる。即ち以下が成り立つ。証明は全く同様である。

${\displaystyle A}$ を一意分解環、${\displaystyle K}$ をその商体とする。${\displaystyle P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dotsb +a_{1}x+a_{0}}$

を ${\displaystyle A}$ 係数の多項式とする。ある ${\displaystyle A}$ の素元 p が存在して、a₀, a₁, …, a_n が

• i ≠ n の場合は a_i は p で割り切れる
• a_n は p で割り切れない
• a₀ は p² で割り切れない

を満たすならば、${\displaystyle P(x)}$ は体 ${\displaystyle K}$ 上で既約である。

さらに係数環を整域にまで拡張できる（詳細は英語版を参照のこと）。

例

• 複素係数多項式 ${\displaystyle X^{2}+Y^{2}-1}$ は既約である。実際 ${\displaystyle C[X]}$ 係数の一変数多項式と見て素元として ${\displaystyle X-1}$ と選べばよい。