アーベル方程式

この項目では、特定の函数方程式について説明しています。未知函数についての3次の常微分方程式については第一種アーベル方程式（英語版）をご覧下さい。

数学において、ニールス・アーベルの名にちなむアーベル方程式（アーベルほうていしき、英: Abel equation）とは、

${\displaystyle f(h(x))=h(x+1)\,\!}$

あるいは

${\displaystyle \alpha (f(x))=\alpha (x)+1\!}$

の形式で記述され、f の反復をコントロールする特殊な函数方程式のことを言う。

同値性

上述の二つの方程式は同値である。実際、α を可逆函数とすると、二番目の方程式は

${\displaystyle \alpha ^{-1}(\alpha (f(x)))=\alpha ^{-1}(\alpha (x)+1)\,}$

のように書くことが出来る。すると x = α⁻¹(y) とすることで、この方程式は

${\displaystyle f(\alpha ^{-1}(y))=\alpha ^{-1}(y+1)\,}$

のように書くことが出来る。既知とされる函数 f(x) に対して、問題は函数 α⁻¹ についての函数方程式を解くこととなる。また α⁻¹(0) = 1 のような追加条件も必要となる可能性がある。

実パラメータ s に対して変数変換 s^α(x) = Ψ(x) を行うことで、アーベル方程式は有名なシュレーダーの方程式 Ψ(f(x)) = s Ψ(x) に書き換えることが出来る。

さらに変換 F(x) = exp(s^α(x)) を施すことで、ボッチャーの方程式 F(f(x)) = F(x)^s が得られる。

歴史

はじめ、この方程式はより一般的な形式で記述されていた^{[1] [2]}。その方程式は、一変数の場合ですら非自明なもので、特別な解析が必要とされた^[3][4]。

線型変換函数の場合、解はコンパクトな形式で表現できる^[5]。

特別な場合

テトレーションの方程式は、f = exp であるようなアーベル方程式の特別な場合である。

整数の議論の場合、アーベル方程式は再帰的な手順を表すものである。例えば

${\displaystyle \alpha (f(f(x)))=\alpha (x)+2~}$

や

${\displaystyle \alpha (f_{n}(x))=\alpha (x)+n~}$

などのようになる。

ファトウ座標は、放物型不動点の近くでの離散力学系の局所的な挙動を記述する、アーベル方程式の解を表すものである^[6]。

関連項目

• 函数方程式
• 反復函数
• シュレーダーの方程式
• ボッチャーの方程式
• 解析函数の無限合成（英語版）