ウィグナー半円分布

ウィグナー半円分布（英: Wigner semicircle distribution）とは、連続確率分布の一つで、ハンガリーのノーベル賞物理学者であるユージン・ウィグナーに因んで命名された。この分布は母数 R > 0 に対して区間 [−R, R] を台に持ち（連続単変量で有界区間に台を持つ）、特にその確率密度関数のグラフは (0, 0) を中心とする半径 R の半円を R に応じて（確率分布となるように）以下のように正規化したもの（したがって実際には半楕円）で与えられる：

確率密度関数

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\dfrac {2}{\pi R^{2}}}{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}&{\text{if }}|x|\leq R\\[1ex]0&{\text{if }}|x|>R\end{cases}}}$

ウィグナー半円分布

確率密度関数
累積分布関数
母数	${\displaystyle R>0}$
台	${\displaystyle [-R,R]}$
確率密度関数	${\displaystyle {\frac {2}{\pi R^{2}}}{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}}$
累積分布関数	${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {x{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}}{\pi R^{2}}}+{\frac {1}{\pi }}\arcsin {\frac {x}{R}}}$ for ${\displaystyle -R\leq x\leq R}$
期待値	${\displaystyle 0}$
中央値	${\displaystyle 0}$
最頻値	${\displaystyle 0}$
分散	${\displaystyle {\frac {R^{2}}{4}}}$
歪度	${\displaystyle 0}$
超過尖度	${\displaystyle -1}$
エントロピー	${\displaystyle \ln(\pi R)-{\frac {1}{2}}}$
モーメント母関数	${\displaystyle 2{\frac {I_{1}(Rt)}{Rt}}}$ I1 は変形ベッセル関数
特性関数	${\displaystyle 2{\frac {J_{1}(Rt)}{Rt}}}$ J1 はベッセル関数
フィッシャー情報量	{{{フィッシャー情報量}}}

この分布はランダム行列の行列の大きさが無限大に近づくにつれ、固有値分布の極限分布として現れる。これをウィグナーの半円則 (Wigner semicircle law) という。

また、期待値、中央値、最頻値がともに0である直感的な理由としては、半楕円の縦軸に平行な方の軸が原点を通ることが在る。

参考文献

• 永尾太郎 『ランダム行列の基礎』 東京大学出版会 (2005) ISBN 978-4130613064
• 四辻哲章 『計算機シミュレーションのための確率分布乱数生成法 』 プレアデス出版 (2010年)　ISBN 978-4903814353