ウェダーバーンの小定理

数学において、ウェダーバーンの小定理 (英: Wedderburn's little theorem) はすべての有限域が体^[1]であることを述べるものである。言い換えると、有限環（英語版）において、域、斜体、体の違いはない。

アルティン・ツォルンの定理（英語版）はこの定理を交代環へと一般化する： すべての有限単純交代環は体である^[2]。

歴史

最初の証明は Joseph Wedderburn（英語版） によって1905年に与えられ^[3]、彼はその後2つの別証を与えた。別の証明は Leonard Eugene Dickson によって Wedderburn の最初の証明のすぐ後に与えられ、Dickson は Wedderburn が先であることを認めていた。しかしながら、(Parshall 1983) に述べられているように、Wedderburn の最初の証明は正しくなく――飛躍があり――彼の次の証明は Dickson の正しい証明を読んだ後に現れたのだった。そのため、Parshall は最初の正しい証明は Dickson に帰するべきだと主張している。

後に簡潔な証明が Ernst Witt によって与えられた^[3]。Witt の証明の概略は下で与えられる。また別の方法は、定理は以下の議論によって Skolem–Noether の定理（英語版） の帰結である^[4]。D を有限可除代数で中心を k とする。[D : k] = n² とし q を k の濃度とする。D のすべての極大部分体は qⁿ 個の元を持つ。なのでそれらは同型でありしたがって Skolem–Noether によって共役である。しかし有限群（今の場合 D の乗法群）は真の部分群の共役の和集合ではありえない。したがって n = 1 である。

有限体の Brauer 群との関係

定理は本質的に、有限体の Brauer 群が自明であると言うことと同値である。実は、この特徴づけから直ちに以下のように定理の証明が出る。k を有限体とする。Herbrand 商（英語版）は有限性によって消えるから、${\displaystyle \operatorname {Br} (k)=H^{2}(k^{\text{al}}/k)}$ は ${\displaystyle H^{1}(k^{\text{al}}/k)}$ と一致し、これはヒルベルトの定理90によって消える。

証明の概略

A を有限域とする。A の各元 x ≠ 0 に対し、2 つの写像

${\displaystyle a\mapsto ax,a\mapsto xa:A\to A}$

は cancellation property によって単射であり、したがって有限性から全射である。基本的な群論から^[5]A の非零元全体は乗法について群をなすことが従う。したがって、A は斜体である。A の中心 Z(A) は体であるから、A は Z(A) 上有限 n 次元のベクトル空間である。すると我々の目標は n = 1 を示すことである。q を Z(A) の位数とすると、A の位数は qⁿ である。中心に入っていない各 x ∈ A に対して、x の centralizer Z_x の位数は q^d である。ここに d は n より小さい n の約数である。Z(A)^*, Z_x^*, A^* を乗法について群と見て、類等式を次のように書ける

${\displaystyle q^{n}-1=q-1+\sum {q^{n}-1 \over q^{d}-1}}$

ただし和は Z(A) に入っていないすべての代表元 x を渡り、d は上で議論された数である。qⁿ−1 と q^d−1 はともに円分多項式 ${\displaystyle \Phi _{f}(q)}$ のことばによって分解できる。

多項式の恒等式

${\displaystyle x^{n}-1=\prod _{m|n}\Phi _{m}(x)}$　および　${\displaystyle x^{d}-1=\prod _{m|d}\Phi _{m}(x)}$

から、x = q とおくと、

${\displaystyle \Phi _{n}(q)}$　は qⁿ−1 と ${\displaystyle {q^{n}-1 \over q^{d}-1}}$ をともに割り切る

ことがわかるので、上の類等式によって ${\displaystyle \Phi _{n}(q)}$ は q−1 を割らなければならず、したがって

${\displaystyle |\Phi _{n}(q)|\leq q-1}$.

これによって n が 1 でなければならないことを見るために、n > 1 に対して

${\displaystyle |\Phi _{n}(q)|>q-1}$

であることを、複素数上の分解を用いて示す。多項式の恒等式

${\displaystyle \Phi _{n}(x)=\prod (x-\zeta )}$,

ただし ζ は 1 の原始 n 乗根を渡る、において、x を q とし、絶対値を取ると

${\displaystyle |\Phi _{n}(q)|=\prod |q-\zeta |}$.

n > 1 に対して

${\displaystyle |q-\zeta |>|q-1|}$

であることが、複素平面での q, 1, ζ の位置を見れば分かる。したがって

${\displaystyle |\Phi _{n}(q)|>q-1}$.