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エーレンフェストの定理
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エーレンフェストの定理(エーレンフェストのていり、英: Ehrenfest's theorem[1])は、量子力学における重要な定理のひとつで、大まかにいえば『シュレーディンガー方程式の期待値を取ることで古典力学における運動方程式(に大変よく似たもの)が得られる』ことを主張している。この定理はオランダの物理学者ポール・エーレンフェストにより提唱され、量子力学と古典力学の対応を論じるときによく用いられる。
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定理の主張
要約
視点
量子系の座標のrの期待値とそれに共役な運動量pの期待値とが時間とともにどのように変化するかを計算し、,より、それぞれ、 (1) (2)
が得られる。これは、古典論の運動方程式、
とよく似ている。rの期待値とpの期待値が時間とともにどのように変化していくかという関係、(1)の式と(2)の式をエーレンフェストの定理という。[2]
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証明
要約
視点
まず、期待値の定義より
を得る。ここでシュレーディンガー方程式より
部分積分と、積分範囲が空間全体にわたること、及び波動関数は無限遠では0となるという仮定を用いると
これらを用いると
再度シュレーディンガー方程式を用いて
また部分積分を使うと、
加えて
を用いると、
を得る。この右辺の積分は、期待値の導出法からの期待値であるから、
となる。
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脚注
関連項目
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