オイラー積分

数学において、オイラー積分（オイラーせきぶん, 英: Euler integral, Eulerian integral）とは、数学者オイラー、ルジャンドルによって研究された積分^[1][2]。第一種オイラー積分と第二種オイラー積分の2つが存在し、それぞれがベータ関数とガンマ関数に相当する。 オイラー積分の名はルジャンドルによって与えられた。

概要

第一種オイラー積分（Euler integral of the first kind）はベータ関数とも呼ばれ、${\displaystyle \Re (x)>0}$, ${\displaystyle \Re (y)>0}$を満たす${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$に対して、

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\int _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt={\frac {\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}}$

で定義される。

第二種オイラー積分（Euler integral of the second kind）はガンマ関数とも呼ばれ、${\displaystyle \Re (z)>0}$を満たす${\displaystyle z}$に対して、

${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}\,e^{-t}\,dt}$

で定義される。

オイラー積分の性質として、正の整数${\displaystyle l}$, ${\displaystyle m}$, ${\displaystyle n}$に対して、

${\displaystyle \mathrm {B} (l,m)={(l-1)!(m-1)! \over (l+m-1)!}={l+m \over lm{l+m \choose l}}}$

${\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!\,}$

という表示もある。