オイラー角

オイラー角（オイラーかく、英: Euler angles）とは、三次元ユークリッド空間中の2つの直交座標系の関係を表現する方法の一つである。 レオンハルト・オイラーにより考案された。 剛体に固定された座標系を考えることで、剛体の姿勢を表すことができる。

z-x-z系のオイラー角

オイラー角アニメーション

オイラー角は3つの角度の組で表される。 一方の座標系を (x, y, z) で表し、他方を (X, Y, Z) で表す。簡単のために、2つの座標系は原点を共有するものと考える。

1. z軸とZ軸のなす角度を β とする。
2. β が 0°または180°ではない場合には、xy平面とXY平面は一つの直線で交わる。この交線をNとする。
3. x軸と交線Nのなす角度を α とし、X軸と交線Nのなす角度をγ とする。

このとき ${\displaystyle (\alpha ,\beta ,\gamma )}$ がオイラー角である^[1]。 オイラー角は座標軸まわりの回転を繰り返すことで表すこともできる。

1. ${\displaystyle (x,y,z)}$をz軸まわりに角度α回転させ、${\displaystyle (x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })}$ とする。
2. ${\displaystyle (x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })}$を x'軸まわりに角度β回転させ、${\displaystyle (x'',y'',z'')}$ とする。
3. ${\displaystyle (x'',y'',z'')}$を ${\displaystyle z''}$軸まわりに角度γ回転させれば (X, Y, Z) となる。

上記の定義は z軸-x軸-z軸の順に回転するので z-x-z系のオイラー角とよばれる。 実際にはどの軸のまわりに回転させるかに任意性があり、同じ座標系をあらわすのに以下のように全部で 12通りの表現法がある。

x-y-z	x-z-y	y-x-z	y-z-x	z-x-y	z-y-x
x-y-x	x-z-x	y-x-y	y-z-y	z-x-z	z-y-z