オストロフスキーの定理

数論において、オストロフスキーの定理 (オストロフスキーのていり、Ostrowski's theorem) とは、有理数体 Q 上の全ての非自明な付値は、通常の実数の絶対値か、または、p-進付値に同値であるという定理である^[1]。1916年にアレクサンドル・オストロフスキー（英語版） (Alexander Ostrowski) によって証明された。

定義

体 K 上の 2つの絶対値（英語版）（付値） ${\displaystyle |\cdot |}$ と ${\displaystyle |\cdot |_{\ast }}$ は、ある実数 c > 0 が存在して

全ての ${\displaystyle x\in K}$ に対し、${\displaystyle |x|_{\ast }=|x|^{c}}$

となるとき、同値であると定義される。

任意の体 K 上の自明な絶対値は、

${\displaystyle |x|_{0}:={\begin{cases}0,&{\text{if }}x=0\\1,&{\text{if }}x\neq 0\end{cases}}}$

と定義される。

有理数体 Q 上の実絶対値は、実数上の標準的絶対値で、

${\displaystyle |x|_{\infty }:={\begin{cases}x,&{\text{if }}x\geq 0\\-x,&{\text{if }}x<0\end{cases}}}$

と定義される。添え字は無限大の代わりに 1 とすることもある。

素数 p に対し、Q 上の p-進絶対値は、次のように定義される。0 ではない任意の有理数 x は、どの2つも互いに素な整数 a, b, p および整数 n により一意的に ${\displaystyle x=p^{n}{\dfrac {a}{b}}}$ と書くことができる。そこで

${\displaystyle |x|_{p}:={\begin{cases}0,&{\text{if }}x=0\\p^{-n},&{\text{if }}x\neq 0\end{cases}}}$

と定義する。

他のオストロフスキーの定理

他にもオストロフスキーの定理と呼ばれる定理が存在し、それは「アルキメデス付値に関して完備な任意の体は、（代数的にも位相的にも）実数体か複素数体に同型である」ということを主張する^[2]。