カスチリアノの定理

カスチリアノの定理（カスチリアノのていり、英: Castigliano's theorem）は、構造力学、材料力学などで扱われる定理で、第1定理と第2定理からなる。たわみ（変形量）を求めたり不静定構造を解いたりするときによく使われる。カスティリアノの定理とも表記する。この定理は仮想仕事の原理を用いて証明される。

1873年にカルロ・アルベルト・カスティリャーノによって確立された^[1]。

日本では、東京帝国大学教授であった広井勇により初めて詳しく紹介された。

カスチリアノの第1定理

ひずみエネルギー ${\displaystyle U}$ を、変位 ${\displaystyle \delta _{1},\delta _{2},\cdots ,\delta _{I}}$ の関数として表すとき、 ${\displaystyle i}$ 点での外力 ${\displaystyle P_{i}}$ は、

${\displaystyle P_{i}={\frac {\partial U}{\partial \delta _{i}}}}$

で表される。これをカスチリアノの第1定理という。

カスチリアノの第2定理

変位と外力とが線形関係にあることが保証される系では、ひずみエネルギー ${\displaystyle U}$ を、外力 ${\displaystyle P_{1},P_{2},\cdots ,P_{i}}$ の関数として表すとき、 ${\displaystyle i}$ 点での変位 ${\displaystyle \delta _{i}}$ は、

${\displaystyle \delta _{i}={\frac {\partial U}{\partial P_{i}}}}$

で表される。これをカスチリアノの第2定理という。

（参考）最小仕事の定理

また、不静定構造で、不静定力 (${\displaystyle X_{1},X_{2},\cdots ,X_{i}}$) は、ひずみエネルギーが最小となるように働く。つまり、

${\displaystyle {\frac {\partial U}{\partial X_{i}}}=0}$

と書ける。これを最小仕事の定理という。