カッシーニの卵形線

カッシーニの卵形線（カッシーニのらんけいせん、英語: Cassinian oval）は、直交座標の方程式 ${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}-2b^{2}(x^{2}-y^{2})-(a^{4}-b^{4})=0}$ によって表される平面四次曲線（英語版）である^[1]。

本文の式で

  ${\displaystyle a=1,b=1}$

  ${\displaystyle a=1,b=1.2}$

  ${\displaystyle a=1,b=1.4}$

  ${\displaystyle a=1,b=1.6}$

本文の式で

  ${\displaystyle a=1,b=1}$

  ${\displaystyle a=1.1,b=1}$

  ${\displaystyle a=1.2,b=1}$

  ${\displaystyle a=1.3,b=1}$

性質

x軸、y軸に対して線対称である。

• a < bのとき2つのまるいループに分かれる。

${\displaystyle (\pm {\sqrt {a^{2}+b^{2}}},0),(\pm {\sqrt {-a^{2}+b^{2}}},0)}$ の4点でx軸と交わる。

• a = bのときベルヌーイのレムニスケートとなる。

${\displaystyle (\pm {\sqrt {a^{2}+b^{2}}},0),(0,0)}$ の3点でx軸と交わる。

• a > bのとき1つのループからなる。

${\displaystyle (\pm {\sqrt {a^{2}+b^{2}}},0)}$ の2点でx軸と交わる。

軌跡

2つの定点(-b,0),(b,0)に対して、動点P(x,y)を考える。 2つの定点からPへのそれぞれ距離の積が ${\displaystyle a^{2}}$ であるようなPの軌跡がカッシーニの卵形線になる。

すなわち ${\displaystyle {\sqrt {(x+b)^{2}+y^{2}}}{\sqrt {(x-b)^{2}+y^{2}}}=a^{2}}$ となり、この式の両辺を2乗してから変形すると、冒頭の定義式が得られる。