カルノーの定理 (円錐曲線)

カルノーの定理（カルノーのていり、英: Carnot's theorem, Carnot theorem）は、ラザール・カルノー^[1]にちなんで名付けられた定理の一つである^[2]。

円錐曲線と辺の6つの交点

定理

カルノーの定理 ― 三角形ABC について、AB上の点C_a, C_b、BC上の点A_b, A_c、CA上の点B_c, B_aの六点が同一円錐曲線上にあることと、以下の式が成り立つことは同値である：

$${\displaystyle {\frac {|AC_{A}|}{|BC_{A}|}}\cdot {\frac {|AC_{B}|}{|BC_{B}|}}\cdot {\frac {|BA_{B}|}{|CA_{B}|}}\cdot {\frac {|BA_{C}|}{|CA_{C}|}}\cdot {\frac {|CB_{C}|}{|AB_{C}|}}\cdot {\frac {|CB_{A}|}{|AB_{A}|}}=1.}$$

関連する定理

A_b, A_c, B_c, B_a, C_a, C_bが同一円錐曲線上にあるならば、AA_b, AA_c, BB_c, BB_a, CC_a, CC_bに接する円錐曲線が存在する（ブラッドリーの定理、Bradley's theorem）^[3]。

それぞれB_aC_a, C_bA_b, A_c,B_cとBC, CA, ABの交点は共線である（パスカルの定理）。

一般に、m個の点P₁, P₂, P₃, ..., P_mについて、それぞれ直線P_iP_i+1上のn個の点A_i1, A_i2, ..., A_in、計mn個の点がn次代数曲線上にあるとき、次の式が成り立つ^[4]。

${\displaystyle \prod _{1\leq i\leq m,1\leq j\leq n}{\dfrac {P_{i}A_{ij}}{A_{ij}P_{i+1}}}=(-1)^{mn}}$

ただしP_m+1 = P₁とする。2 < nの場合、逆が成立するとは限らない。すなわち、mn個の点を通る代数曲線が一意に決定するとは限らない。m = 3としてn = 1, 2のとき、それぞれメネラウスの定理、カルノーの定理である。 m個の点は平面上に無くともよい、すなわちユークリッド空間の点と代数曲面へ拡張できる^[5]。