カーダー・パリージ・ザン方程式

カーダー・パリージ・ザン方程式（英: Kardar–Parisi–Zhang equation) は、メヘラーン・カールダール（英語版）、ジョルジョ・パリージ、イー・チャン・ジャン (Yi-Cheng Zhang) らによって提案された^[1]、ランジュバン型の非線形の確率偏微分方程式であり、結晶の界面成長を記述する。しばしば提案した三人の頭文字を取って、KPZ方程式と略記される。

${\displaystyle {\frac {\partial h}{\partial t}}\left({\vec {x}},t\right)=\nu \nabla ^{2}h\left({\vec {x}},t\right)+{\frac {\lambda }{2}}\left(\nabla h\right)^{2}\left({\vec {x}},t\right)+\eta \left({\vec {x}},t\right).}$

${\displaystyle \textstyle h\left({\vec {x}},t\right)}$ は、時刻 ${\displaystyle \textstyle t}$ での ${\displaystyle \textstyle {\vec {x}}}$ における界面の高さを表し、${\displaystyle \textstyle \nu }$ は界面張力、${\displaystyle \textstyle \lambda }$ は非線形効果の強さ、${\displaystyle \textstyle \eta \left({\vec {x}},t\right)}$ は確率的なノイズを表す。ノイズ項 ${\displaystyle \textstyle \eta \left({\vec {x}},t\right)}$ は、

${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}\left\langle \eta \left({\vec {x}},t\right)\right\rangle &=0\\\left\langle \eta \left({\vec {x}},t\right)\eta \left({\vec {x}}\,',t'\right)\right\rangle &=2D\delta ^{d}\left({\vec {x}}-{\vec {x}}\,'\right)\delta \left(t-t'\right)\end{aligned}}\right.}$

を満たすホワイトノイズ、特にガウシアンノイズであるとする。ここで ${\displaystyle \textstyle \left\langle \cdot \right\rangle }$ は角括弧で囲まれた物理量の配位空間での平均を表し、${\displaystyle \textstyle \delta \left(\cdot \right)}$ はディラックのデルタを表す。また ${\displaystyle \textstyle D}$ はノイズの強さである。

界面の高さ ${\displaystyle \textstyle h\left({\vec {x}},t\right)}$ は、${\displaystyle \textstyle {\vec {x}}}$ に対する一価関数であることを仮定する。この仮定により、KPZ方程式で記述される界面は巨視的にはオーバーハングを持たない。

方程式の構成

右辺第2項の非線形項 ${\displaystyle \textstyle {\frac {\lambda }{2}}\left(\nabla h\right)^{2}\left({\vec {x}},t\right)}$ がなければ、方程式はエドワーズ・ウィルキンソン方程式 (Edwards–Wilkinson equation; EW eq.)^[2] になる。 界面の傾きを ${\displaystyle \textstyle \theta }$ とし、その方向に速度 ${\displaystyle \textstyle v}$ で界面が成長すると考えると、微小時間 ${\displaystyle \textstyle \delta t}$ の間に、界面の高さは ${\displaystyle \textstyle \delta h=\left[\left(v\delta t\right)^{2}+\left(v\delta t\tan \theta \right)^{2}\right]^{1/2}}$ だけ変化する。${\displaystyle \textstyle \tan \theta =\left|\nabla h\right|}$ と置き換えられることに注意すれば、

${\displaystyle {\frac {\delta h}{\delta t}}=v\left[1+\left(\nabla h\right)^{2}\right]^{1/2}\simeq v+{\frac {v}{2}}\left(\nabla h\right)^{2}+\cdots ,}$

とテイラー展開することができる。展開の第1項は座標変換によって消去することができるので、最も主要な項は第2項の非線形項であり、これが KPZ方程式の非線形項を与える。

方程式の変形

コール・ホップ変換

高さの関数 ${\displaystyle \textstyle h\left({\vec {x}},t\right)}$ を関数 ${\displaystyle \textstyle W\left({\vec {x}},t\right)}$ を用いて、${\displaystyle \textstyle h\left({\vec {x}},t\right)=\left(2\nu /\lambda \right)\ln W\left({\vec {x}},t\right)}$ と変換すると、KPZ方程式は以下のように書き直される^{[注釈 1]}。この変換をコール・ホップ変換という。

${\displaystyle {\frac {\partial W}{\partial t}}\left({\vec {x}},t\right)=\nu \nabla ^{2}W\left({\vec {x}},t\right)+{\frac {\lambda }{2\nu }}\eta \left({\vec {x}},t\right)W\left({\vec {x}},t\right).}$

これは時間依存するランダム・ポテンシャル中での拡散方程式になっている。 この方程式の解は形式的に、以下の形に書ける。

${\displaystyle \displaystyle W\left({\vec {x}},t\right)=\int _{({\vec {0}},0)}^{({\vec {x}},t)}D{\vec {x}}\,'\left(t'\right)\exp \left\{-\int _{0}^{t}dt'\left[{\frac {\nu }{2}}\left({\frac {d{\vec {x}}\,'\left(t'\right)}{dt'}}\right)^{2}+{\frac {\lambda }{2\nu }}\eta \left({\vec {x}}\,',t'\right)\right]\right\}.}$

上記の経路積分より、${\displaystyle \textstyle W\left({\vec {x}},t\right)}$ は、${\displaystyle \textstyle ({\vec {0}},0)}$ と ${\displaystyle \textstyle \left({\vec {x}},t\right)}$ を結ぶ、${\displaystyle \textstyle d+1}$ 次元空間上の方向付きの高分子 (directed polymer; DP) のすべての配位に対するボルツマン因子の和であると見なせる^[3][4]。

バーガース方程式への変換

別の有用な変換として、ベクトル場 ${\displaystyle \textstyle {\vec {v}}\left({\vec {x}},t\right)=-\nabla h\left({\vec {x}},t\right)}$ を用いて、界面の高さ ${\displaystyle \textstyle h\left({\vec {x}},t\right)}$ を ${\displaystyle \textstyle {\vec {v}}}$ で書き換えると、方程式は以下の形になる^{[注釈 2]}。

${\displaystyle {\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}\left({\vec {x}},t\right)+\lambda {\vec {v}}\left({\vec {x}},t\right)\cdot \left(\nabla {}{\vec {v}}\right)\left({\vec {x}},t\right)=\nu \nabla ^{2}{\vec {v}}\left({\vec {x}},t\right)-\nabla \eta \left({\vec {x}},t\right).}$

ここで ${\displaystyle \textstyle \lambda =1}$ と置けば、これは ${\displaystyle \textstyle {\vec {v}}}$ を渦なしの速度場としたときの、バーガース方程式にノイズを加えたものになっている。 あるいは ${\displaystyle \textstyle \lambda {\vec {v}}\left({\vec {x}},t\right)=-\lambda \nabla h\left({\vec {x}},t\right)}$ を改めて ${\displaystyle \textstyle {\vec {v}}\left({\vec {x}},t\right)}$ に置き換えてもバーガース方程式の形に変形できる。

スケーリング

^[要出典] KPZ方程式をバーガース方程式へ変換した後、時間と空間に対し適当なスケール変換を施すと、

${\displaystyle {\vec {x}}\rightarrow b{\vec {x}},\quad t\rightarrow b^{z}t,\quad {\vec {v}}\rightarrow b^{\alpha -1}{\vec {v}}\quad \left(h\rightarrow b^{\alpha }h\right),}$

ノイズ ${\displaystyle \textstyle \eta \left({\vec {x}},t\right)}$ について、${\displaystyle \textstyle \left\langle \eta \left({\vec {x}},t\right)\eta \left({\vec {x}}\,',t'\right)\right\rangle =2D\delta ^{d}\left({\vec {x}}-{\vec {x}}\,'\right)\delta \left(t-t'\right)}$ の関係を仮定したことに注意すれば、デルタ関数について、

${\displaystyle \delta \left(x\right)\rightarrow b^{-1}\delta \left(x\right),\quad \delta \left(t\right)\rightarrow b^{-z}\delta \left(t\right),}$

と変換されるので、バーガース方程式は、

${\displaystyle \left.{\begin{aligned}b^{\alpha -z-1}{\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}\left({\vec {x}},t\right)+b^{2\alpha -3}\lambda {\vec {v}}\left({\vec {x}},t\right)\cdot \left(\nabla {\vec {v}}\right)\left({\vec {x}},t\right)&=b^{\alpha -3}\nu \nabla ^{2}{\vec {v}}\left({\vec {x}},t\right)-b^{-\left(d+2+z\right)/2}\nabla \eta \left({\vec {x}},t\right),\\{\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}\left({\vec {x}},t\right)+b^{\alpha +z-2}\lambda {\vec {v}}\left({\vec {x}},t\right)\cdot \left(\nabla {\vec {v}}\right)\left({\vec {x}},t\right)&=b^{z-2}\nu \nabla ^{2}{\vec {v}}\left({\vec {x}},t\right)-b^{\left(z-2\alpha -d\right)/2}\nabla \eta \left({\vec {x}},t\right).\end{aligned}}\right.}$

となる。ここで ${\displaystyle \lambda }$ の項はスケール変換に対して不変であるとすると、指数 ${\displaystyle \textstyle \alpha }$, ${\displaystyle \textstyle z}$ について、${\displaystyle \textstyle \alpha +z=2}$ が成り立つことになる。

注釈

1. 対数の微分 ${\displaystyle \scriptstyle \partial _{\alpha }\left(\ln W\right)=\left(\partial _{\alpha }W\right)/W}$ を計算してから ${\displaystyle \scriptstyle W}$ を両辺に掛ける。
2. KPZ方程式の各項について${\displaystyle \textstyle \nabla }$ を左から掛ける。