クリーク (グラフ理論)

グラフ理論において、無向グラフ ${\displaystyle G=(V,E)}$ のクリーク（英: clique）とは、頂点の部分集合 ${\displaystyle C\subseteq V}$ のうち、${\displaystyle C}$ に属するあらゆる2つの頂点を繋ぐ辺が存在するものをいう。これはすなわち、${\displaystyle C}$ から誘導される部分グラフが完全だということである。なお、頂点の集合ではなく、そのような部分グラフをクリークと呼ぶこともある。（また包含関係に関して極大な完全部分グラフのみをクリークと呼ぶこともあるので注意がいる^[1]。）クリークに属する頂点数をそのクリークの大きさと言う。

K₅ 完全グラフ。部分グラフがこのようになっている場合、その部分グラフの頂点群は大きさ5のクリークを形成している。

6個の頂点と7本の辺から成るグラフ。このグラフでは大きさ3の唯一のクリークが 1, 2, 5 である。

与えられたグラフに指定された大きさのクリークがあるかどうかを求める問題（クリーク問題、その特殊版が最大クリーク問題）はNP完全である。

クリークの逆の概念を独立集合と呼び、クリークは必ず補グラフの独立集合と対応する。

この用語は、頂点を人、辺を「知っている」という意味としたとき、全ての人が互いに知っていることになるため "clique"（徒党、派閥）と名付けられた。

グラフ ${\displaystyle G}$ の最大クリークは理論上重要であり、${\displaystyle \omega (G)}$ で表される^[2]。

n-クリーク

グラフ ${\displaystyle G}$ の部分グラフ ${\displaystyle C}$ について、${\displaystyle C}$ に属する頂点のすべての対の道の長さが ${\displaystyle n}$ 以下である場合、${\displaystyle C}$ を ${\displaystyle n}$-クリークという^[3]。ふつうのクリークは${\textstyle 1}$-クリークである。