グラム行列

線形代数学において正方行列 ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ が与えられたとき, ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{*}{\boldsymbol {A}}}$ を ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ のグラム行列(ぐらむぎょうれつ, 英: Gram matrix)という。ここで、${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{*}}$は${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$の随伴である。

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}=({\boldsymbol {a}}_{1}\dots {\boldsymbol {a}}_{n})}$ であるとき, ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ のグラム行列の ${\displaystyle (i,j)}$ 成分は ${\displaystyle {\boldsymbol {C}}^{n}}$ における標準内積を用いて ${\displaystyle \langle {\boldsymbol {a}}_{i},{\boldsymbol {a}}_{j}\rangle }$ と表せる。このことから、 内積空間の ${\displaystyle n}$ 個のベクトル ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{1},\dots ,{\boldsymbol {x}}_{n}}$ が与えられたときに ${\displaystyle \langle {\boldsymbol {x}}_{i},{\boldsymbol {x}}_{j}\rangle }$ を ${\displaystyle (i,j)}$ 成分にもつ行列のこともグラム行列という。

性質

グラム行列は半正定値エルミート行列であり、${\displaystyle A}$ のグラム行列 ${\displaystyle G}$ について下記の 3 条件は同値である。

• ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ は正則行列
• ${\displaystyle {\boldsymbol {G}}}$ は正則行列
• ${\displaystyle {\boldsymbol {G}}}$ は正定値エルミート行列

関連項目

• 線形代数学
• 内積