シグモイド

シグモイド（英: sigmoid）とは、ギリシア文字シグマ (σ) の語末形（ς）に似た形のこと。S字形ともいう。

シグモイド関数

ς型の関数の比較

特に各種グラフに現れるシグモイド曲線 (英: sigmoid curve) を指す。このようなグラフは個体群増加や、ある閾値以上で起きる反応（例えば急性毒性試験での死亡率）などに見られる。

共通する特徴

${\displaystyle (-\infty ,\infty )\rightarrow (a,b)}$ の単調増加連続関数で表される。

${\displaystyle y=a}$ と ${\displaystyle y=b}$ を漸近線に持ち、

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }y=a}$

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow -\infty }y=b}$

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow \pm \infty }{\dot {y}}=0}$

である。

1つの変曲点を持つ。つまり、変曲点を ${\displaystyle (x_{\mathrm {s} },y_{\mathrm {s} })}$ とすると、

• ${\displaystyle x<x_{\mathrm {s} }}$ では下に凸
• ${\displaystyle x=x_{\mathrm {s} }}$（変曲点） では傾き最大
• ${\displaystyle x>x_{\mathrm {s} }}$ では上に凸

となる。

式の例

• ロジスティック関数
  • シグモイド関数 - ロジスティック関数の特殊例
  • 双曲線正接関数 (tanh) - シグモイド関数の線形変換
• 正規分布の累積分布関数 (Φ^-1) - プロビットの逆関数
• ゴンペルツ関数
• 逆正接関数 (arctan)
• ${\displaystyle \sin(\arctan(x))={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}}$
• グーデルマン関数 ${\displaystyle {\rm {gd}}\,x=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\cosh t}}=\arcsin(\tanh(x))}$
• ${\displaystyle {\frac {x}{1+|x|}}}$

実際の例

生化学ではアロステリックタンパク質（または酵素）の飽和（反応）曲線にシグモイド曲線がよく見られるが、これは正の協同性があることを示す。一般にヒルの式という経験式で表されるが、これも変数を対数に変換すればロジスティック関数の形になる。