シルベスターの行列式恒等式

シルベスターの行列式恒等式（ーのぎょうれつしきこうとうしき、Sylvester's determinant identity）は、特定の種類の行列式を評価するのに役立つ恒等式である。

この恒等式は、1851年に証明なしにこの恒等式を述べたジェームズ・ジョセフ・シルベスターにちなんで名付けられた^[1]。

解説

n行n列の行列${\displaystyle A}$が与えられた場合、${\displaystyle \det(A)}$はその行列式を表し、次のようにペアを選択する。

${\displaystyle u=(u_{1},\dots ,u_{m}),v=(v_{1},\dots ,v_{m})\subset (1,\dots ,n)}$

m要素の順序付き部分集合（ただし、m ≤ n）の( n − m )行( n − m )列の部分行列を表す。行を削除することで得られ、補助m行m列行列を定義するその要素は、次の行列式に等しい

${\displaystyle ({\tilde {A}}_{v}^{u})_{ij}:=\det(A_{v[{\hat {v}}_{j}]}^{u[{\hat {u}}_{i}]}),}$

このとき${\displaystyle u[{\hat {u_{i}}}]}$、${\displaystyle u[{\hat {u_{j}}}]}$、のm−1個の要素の部分集合を表す。そして${\displaystyle u}$と${\displaystyle u}$要素を削除することによって得られるのが${\displaystyle u_{i}}$と${\displaystyle v_{j}}$である。

このとき、シルベスターの行列式の恒等式は次のように示される (Sylvester, 1851)。

${\displaystyle \det(A)(\det(A_{v}^{u}))^{m-1}=\det({\tilde {A}}_{v}^{u}).}$

m  = 2の場合、これはDesnanot-Jacobi 恒等式 (Jacobi、1851) となる。